“比來比去”探索二次根式

楊博然

老師常說：“數(shù)學學習是螺旋上升的過程。”在學習數(shù)學的過程中，我發(fā)現(xiàn)很多知識都有一種似曾相識的感覺，但與之前的知識又不完全相同，里面加入了很多新知識。在學習二次根式時，這種熟悉的感覺又出現(xiàn)了。于是，我就想一探究竟，通過抽絲剝繭、對比，還真的有所發(fā)現(xiàn)。

一、比名字

[a]（a≥0）的名字。

名字①：非負數(shù)a的算術(shù)平方根;

名字②：二次根式。

[a]可以理解成擁有雙重身份。一種身份是二次根式，之前已經(jīng)學習的整式和分式都屬于代數(shù)式，二次根式的出現(xiàn)，擴充了代數(shù)式的類型;另一種身份是a的算術(shù)平方根。有了這個知識點做鋪墊，我在學習二次根式時理解得就更加透徹了。這兩種身份可以說是二次根式的“前世今生”。

二、比特長

[a]（a≥0）的特長。

特長①：雙重非負性，a≥0，且[a]≥0。

特長②：[a2=a]（a≥0）。

特長③：[a2=a=aa>0;0a=0;-aa<0。]

對于特長①的理解，我們可以借助[a]的名字①了解到a≥0，且[a]≥0，這也就不難理解二次根式[a]的雙重非負性了。

對于特長②和③，通過比較，我發(fā)現(xiàn)兩者既有聯(lián)系又有區(qū)別。聯(lián)系是，里面都包含了兩種運算：平方和開平方，這是一組互逆運算;區(qū)別是，兩種運算的順序不一致：特長②先開平方再平方，特長③先平方再開平方。要對a進行這兩種互逆運算，我們可以認為這兩種運算相互抵消了，最終剩下了a。但為什么結(jié)果不一樣呢？ 我們就來看看具體的例子吧。

特長②：

[22]=2;

[02]=0;

[-22]無意義。

由此看出，被開方數(shù)a要滿足a≥0，計算結(jié)果就是被開方數(shù)a。

特長③：

[22=2=2];

[02=0=0];

[-22=-2=2]。

由此看出，被開方數(shù)a可以取任意實數(shù)，其計算結(jié)果就是[a]。

通過對比，我發(fā)現(xiàn)兩種計算結(jié)果不一樣的原因就在于a的取值范圍，但我們也可以找到共同點，根據(jù)[a2]≥0和[a]≥0的特征，兩個計算結(jié)果都是非負的。兩個特征如果實在分辨不清，可以把特長②記為[a2]=[a=a]（a≥0），這樣就和特長③統(tǒng)一了，我們在解題的時候會更為方便。例如：[52=5=5];[-52=-5=5]。

三、比運算

在進行二次根式計算時，那種似曾相識的感覺又來了。“同類二次根式”的概念讓我想起了“同類項”，“合并同類二次根式”的運算讓我想起了“合并同類項”，一切都是那么熟悉。

合并同類項：

[x2y-3xy2+2x2y-xy2]

=[3x2y-4xy2]。

合并同類二次根式：

[12-27-20+45]

=[23-33-25+35]

=[-3+5]。

比較兩種題型，我發(fā)現(xiàn)解題的方法都是一樣的，但是合并同類二次根式中增加了“最簡二次根式”的概念及化簡，這也是新知識在舊知識的基礎(chǔ)上有了拓展和延伸。

四、總結(jié)

通過“比來比去”，我探究了二次根式的“前世今生”，更加了解了知識點之間的聯(lián)系，數(shù)學方法之間的相通，數(shù)學板塊之間的“藕斷絲連”。學習數(shù)學，需深入其中，知其然，知其所以然，其樂無窮。

教師點評

在數(shù)學學習中，概念的理解是數(shù)學學習的基礎(chǔ)，很多同學在概念上理解不透徹，導致解題時出現(xiàn)錯誤。小楊同學顯然已經(jīng)悟到概念理解的重要性，更重要的是，小楊同學還探究了“知識從哪里來？知識有什么用？知識又將到哪里去？”的問題。數(shù)學的學習，不僅僅要關(guān)注新知識點本身，還要找出知識點之間的聯(lián)系和區(qū)別，找到隱藏在其中的一條方法線，只要找到了“絲”，就能將“斷藕”拼起來。

（指導教師：張文珠）