巧用反比例函數k的幾何含義

倪鈺皓

在學習反比例函數時，我發現，由反比例函數[y]=[kx]（k為常數，且k≠0）圖像上的任一點作橫、縱軸垂線，與兩個坐標軸圍成的矩形的面積是個定值，等于[k]。這個矩形，我稱之為這個點的“k矩形”，即[Sk矩形]=[k]。在解決一些問題時，利用“k矩形”，我得到了簡便的解法。

例題 如圖1，雙曲線[y]=[kx]（其中k>0，x>0）經過矩形OABC的邊AB上的中點F，交邊BC于點E，求證：E點是BC的中點。

證法一：

設點F（a，b）。

∵點F在反比例函數[y]=[kx]上，

∴ab=k。

∵點F是AB的中點，

∴B（a，2b），

∴BC=a。

∵點E在BC上，

∴E點的縱坐標=B點的縱坐標=2b。

∵點E在反比例函數[y]=[kx]上，

∴E點的橫坐標×E點的縱坐標=ab，

∴點E的橫坐標=[a2]，

∴CE=[a2]=[12BC]，

∴E點是BC的中點。

證法二：

如圖2，連接OE、OB、OF。

∵點E、F都在反比例函數[y]=[kx]上，

∴S△OAF=S△OCE。

又∵點F是AB的中點，

∴[S△OAF=12S△OAB]。

∵在矩形OABC中，

∴S[△OAB]=S[△OCB]，

∴S[△OCE]=[12S△OCB]，

∴E點是BC的中點。

證法一是通過設點的坐標，利用反比例函數上點的坐標特征及矩形的特征，轉化已知點和未知點的坐標，進而得到線段長度證得中點，我們可以稱這種方法為解析法;證法二是利用反比例函數k的幾何含義及矩形的圖形特征，得到圖形面積之間的關系，用面積法證得中點，我們可以稱這種方法為幾何法。兩種證法各有特點，此處，顯然幾何法優于解析法。而本題還可以得出更一般的結論，即將“F是AB的中點”改為“F在AB上，且[AFAB]=[n]”，則可得[CECB]=[n]。

變式 如圖3，雙曲線[y]=[kx]（其中k>0，x>0）經過矩形OABC對角線的交點M，交AB于點F，交BC于點E，四邊形OFBE的面積為9，則k=? ? ? ? ? ? 。

同學們可以仿照例題，運用反比例函數k的幾何含義來解一解變式，相信你能得到有用的解題經驗。

教師點評

小作者在學習過程中，能夠主動思考，善于總結歸納，有較強的探究能力;面對問題時，能夠給出多種證法并分析其優劣，擇優而做。同時，對相關的變式問題，小作者還能達到舉一反三、觸類旁通的效果，值得大家學習。

（指導教師：陳雪霞）