數形兩手抓，學好反比例函數

章曉東

七年級上學期我們學習了一次函數，并學會了用一次函數解決問題。現在，我們學習了反比例函數，知道了現實世界存在各種各樣的函數。回顧這兩個單元，大家已經積累了不少關于函數的學習經驗，而“數形結合”是其中最為突出的一個。因為數學研究的基本對象就是“數量關系”與“空間形式”，而函數本身就兼具數與形兩方面的特征。數形結合是一種數學思想方法，以數解形、以形助數都能夠幫助我們完善解題策略，進一步感悟數和形之間的聯系。

我們先借助反比例函數表達式，由數想形，經歷列表、描點、連線的過程，得到了反比例函數的圖像;再借助函數圖像直觀地研究反比例函數的性質，知道了k值的正負對于函數圖像的影響，知道了函數值y隨自變量x的變化而變化，還能夠比較函數值大小。

例如，已知點A（-2，y1）、B（-1，y2）、C（3，y3）都在反比例函數[y]=[3x]的圖像上。借助圖像我們很容易得出[y2<y1<y3]，即使[y]=[3x]變為[y]=[kx（k>0）]，只要我們抓住了“以形助數”，同樣能夠輕松地借助圖像解決問題。

在解決[k1x]+[b>k2x]類型（其中[k1、k2、b]為常數）的不等式時，如果我們借助圖像，問題將變得更簡單。例如，在求不等式[x]+[1>][2x]的解集時，我們可以利用函數[y]=x+1與[y]=[2x]的圖像（如圖1），化繁為簡，得到[-2<x<]0或[x>1]。當然，大家也可以利用圖像求得方程[x]+[1]=[2x]的解。接下來，我們學習了反比例函數的系數k的幾何意義。例如，如圖2，P是反比例函數[y]=[kx]圖像上的一個點，過點P作PA⊥x軸，垂足為A，PC⊥y軸，垂足為C，則矩形OAPC的面積是[k]，△PCO的面積為[k2]。同理，你能求出圖3（點P、B分別在函數[y]=[4x]、[y]=[2x]的圖像上，PB⊥x軸）陰影部分的面積嗎？答案是[42]-[22]=1。

再變化，如圖4，你會計算△ABC的面積嗎？方法一是連接AO、BO，△ABC與△AOB的面積相等;方法二是設A（m，[8m]），進而得到B（m，[-2m]），AB=[10m]，可以由數解形，得△ABC的面積為[10m]·m·[12]=5。由此可見，我們知道了反比例函數k的值，便能得到一些幾何圖形的面積;反之，我們也能夠根據已知圖形的面積，計算出反比例函數k的值，這體現了數與形之間的聯系。

總結上述經驗，我們知道，在解決問題的時候，不僅可以將幾何問題代數化，也可以將代數問題幾何化，在解決同一道問題的時候往往有代數、幾何等方法。

再例如，如圖5，四邊形AOBC是矩形，反比例函數[y]=[kx]（k>0）在第一象限內的圖像與矩形AOBC的邊AC、BC分別交于點M、N，如何判斷[AMAC]與[BNBC]的關系？一方面，我們可以將這兩個比值分別轉化為△AOM與△AOC、△BON與△BOC的面積比;另一方面，我們可以設AC=a，BC=b，則[M（kb]，[b）]，[N（a]，[ka）]，∴[AMAC=kab]，[BNBC=kab]，∴[AMAC=BNBC]。

最后給大家留一道練習題：是否存在一個新矩形，其周長和面積都是長為3、寬為2的矩形的2倍？你想到了哪些方法？

提示如下：（方法1）設新矩形長和寬為x、y，則依題意得x+y=10，xy=12，聯立方程組，再探究根的情況;（方法2）用反比例函數[y]=[12x]與一次函數[y]=[-x]+10的圖像交點去探究。

（作者單位：江蘇省無錫市新吳區新華實驗學校）