挖掘教材習題功能　點燃學生思維火花

摘要：教材典型例題習題所蘊含的本質規律，有助于學生形成一個正確的思維方式.在教學過程中，教師要對教材例題和習題進行深入的研究分析，探究問題的本質，尋求他的思想來源，尋找多種解法.從一題多解或者一題多變中歸納方法，滲透思想，發展學生的思維.

關鍵詞：例題習題教學;問題變式;數感

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）14-0029-03

收稿日期：2022-02-15

作者簡介：陳娟娟（1985.2-），女，河南人，碩士，中學一級教師，從事中學數學教學研究.

1 緣起

教材是知識技能的重要信息載體，往年許多學生中考試題在教材中都能找到一個影子，而且有一些題目就是以課本例題、習題為素材改編成的.因此，教材是平日統考或者中考命題的一個重要依據，而教材上的例題和習題又具有一定的典型性和代表性，這就需要教師們在日常教學中，對教材中的例題、習題進一步地進行歸納、總結，采取“一題多解與一題多變”的模式進行教學，舉一反三，和學生一起研究總結，同時在數學課堂中培養學生的數感，提高教學的有效性.

2020年1月份，筆者參加了上海市金山區九年級數學一模調研考試的閱卷工作，負責批改試卷的第16題.該題目是由滬教版九年級下冊第27.5（3）第30頁第4題改編而來.閱卷后，筆者從教研室獲取了這道題解答情況的相關數據，這道題得分率為僅為0.23，又在自己所教的班級進行了一節試卷講評課，引發了筆者對解題教學的一些思考.

2 習題呈現

滬教版九年級下冊第27.5（3）第30頁第4題：已知相交兩圓的半徑長分別為15和20，圓心距為25，求兩圓的公共弦的長.

2.1 解法分析

解法1直接法

評析本解法是相交兩圓連心線的性質定理的直接運用.這是求公共弦常見的一種方法，同學們也是容易想到的.但是因為（1）式含有兩項無理式，需要兩次平方才能化成整式，所以計算量確實不小.

解法2間接法（先求圓心距其中的一段）

評析因為相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，所以肯定存在兩個直角三角形.如果把圓心距的一段設為x，利用同一個量的兩種表示相等列出方程，求出對應的x從而即可求出弦長.這種間接設元的方法在數學解題中也是很常見的.

解法3間接法（面積法）

評析該解法敏銳地觀察到了15、20、25是一組勾股數，得到一個直角三角形.從計算上來看，計算量也不大，很容易求出結果.這個解法給我們以后解題提供了一個很好的思維活動經驗，要仔細琢磨.

2.2 變式題組

變式1已知半徑長分別為6和8的圓O和圓O相交于A、B兩點，且∠OAO=90 °，求圓心距AB的長.

變式2已知圓O和圓O相交于A、B兩點，AB=8，OO=10，圓O半徑為5，求圓O半徑.

變式3已知圓O和圓O相交于A、B兩點，公共弦AB=24，大圓O的半徑為15，OO=4，求小圓O的半徑長.

變式4已知圓O和圓O相交于A、B兩點，公共弦AB=24，小圓O的半徑為13，大圓O的半徑為15，求OO的長.

本題組的四個變式訓練，問題的大背景沒有變，這樣我們可以通過節省練習的時間，提高課堂學習效率.此外，通過學生對問題的探究可以幫助他們理解更有難度的問題，用發散思維思考，看透問題的本質.變式訓練法有利于提高學生的創新意識，使學生能夠獨立解決問題，有利于他們未來的成長.

3 功能分析

3.1 有助于鞏固新知

本習題是學生學習了相交兩圓連心線的性質定理之后設置的.通過變式題組的練習訓練學生的思維能力，讓學生克服自己原有的思維方式，理解新知識在題目中的應用.對于大部分學生來說，如果就一直練基本題目，對于學生的思維能力發展沒有多大的幫助，因此在變式題目中可以適當增加逆向思維或者新舊知識結合的題目.通過運用知識，加深學生對相交兩圓連心線的性質定理的理解，鞏固新知.

3.2 有利于歸納數學方法

在習題教學時，很多教師采用“就題論題”，只教“是什么”，很少教“為什么”，更少教“怎么想到的”.教師在教學中要重視解題指導，要能做到三個“堅持”：堅持以知識溯源為思路引領，明確思考方向;堅持以教會學生怎么想為能力抓手，強化學法;堅持以同一類型還可以怎么做作為拓展方向，力求以一題會一類.這樣，重點培養學生分析問題和解決問題的能力，使學生能夠輕松地處理新問題.

3.3 有利于培養學生的數感

在上述2.2變式題組的訓練中，通過解題活動會發現常見的勾股數6、8、10;9、12、15;15、20、25;5、12、13等.其實前三組數據和我們熟知的勾股數3，4，5是對應成比例的.在習題的多角度探索中，這種數感是可以通過反復訓練培養出來的.數感是人們對數的直接感知能力，數感在數學教學和數學運算中起著重要的作用.培養學生數感也是我國當前數學課堂教學的一個非常重要的任務.

3.4 有利于數學思維的發展

通過這種分層思維訓練，有利于培養學生的發散思維品質，提高課堂質量.首先，例題、練習教學要足夠重視發散性思維訓練，而“一題多解、一題多變”有助于學生形成發散性思維.所以，在解題后教師嘗試著追問“還有沒有其他解法？”同時，習題教學還要重視多種解題方法的本質揭示，只有透徹掌握方法的本質，才能實現“由會一題到會一類題” 的方法遷移.例題、習題教學要立足其顯性功能的開發.其次，教材上的典型習題，很多都具備變式或者拓展延伸的空間，因此還要學會挖掘其隱性功能.二者兼具才不會浪費例題資源的價值，也就不會錯過欣賞習題教學的美麗風景.

4 鏈接一模

（2020年1月長寧金山一模16題）已知相交兩圓的半徑長分別為8和15，圓心距為17，則這兩圓的公共弦長為_______.

解題思路通過對教材27.5（3）第30頁第4題習題的解法研究，本道題通過簡單的驗算我們很容易得到8，15，17是一組勾股數.采用上面問題的解法3，利用面積法，很容易求出公共弦長24017.如果我們不認真琢磨出題人的用意，而是直接采用類似于解法1的方法，那么想把正確答案求出卻是有很大的困難.

5 教學反思

5.1 把教材題目用好些

教材的例題和習題是經過眾多專家精心遴選、反復斟酌而定的，是教材的一個有機組成部分.它在幫助學生把握雙基，完善知識結構，培養和提高思維能力等各方面起著重要作用.作為一線教師，更應該從課本中挖掘例題習題的功能，在對課本習題多角度探索的過程中，提煉和優化解題方法，為學生遇到類似的考題能夠迅速找到最優方法打下基礎.

5.2 把思維教得靈活些

課堂教學中不能貪多，尤其是在解題教學中更不能貪多.在學生的難點處，請勿“一帶而過”.在同學們的思路卡殼時，教師要給他們多一點的思考空間，用啟發性問題引導學生，鼓勵他們進行多樣化的嘗試探索，尋找解決問題的最佳方法.在這樣的教學過程中，學生獲得的解題經驗才深刻.

5.3 把自己教的善思些

通過這一次一個小題目的得分率反思自己的教學，我們還有很多需要改進的地方.我們要反思自己的教學，反思自己的課堂，才能常教常新，學生才能常學常優.雖然教學是有遺憾的藝術，但我們應該努力為學生走向數學學習的“詩和遠方”鋪設道路.

參考文獻：

[1] 謝翔.挖掘例題美育價值，培養數學核心素養[J].中學數學教學參考（中旬），2019（8）：55-57.

[2] 錢宜鋒.一道教師學科知識競賽試題的命制與感悟[J].中學數學教學參考（中旬），2019（8）：58-60.

[3] 形成云.基于發現，歷練思維[J].中學數學教學參考（中旬），2019（11）：27-29.

[責任編輯：李璟]