讀讀歐拉，他是所有人的老師

小燕子

如果讓你在五秒鐘之內說出幾個數學家的名字，也許你會說華羅庚、陳景潤、蘇步青這些中國數學家，也可能提到數學史上公認最偉大的數學家阿基米德、牛頓、高斯，但想起今天的主角萊昂哈德·歐拉的，可能不會太多。其實，歐拉與阿基米德、牛頓、高斯同為“數學史四大天王”，可阿基米德有“撬起地球”的豪言壯語，牛頓因為蘋果落地聞名世界，高斯少年時就顯露出計算天賦，唯獨歐拉的故事不是盡人皆知。

但是，歐拉離我們并不遙遠，我們熟悉的各種數學符號如用π表示圓周率;用sin、cos表示正、余弦;用f（x）表示函數……統統是歐拉的創造;今天計算機領域中廣泛使用的RSA公鑰密碼算法（哈希算法），也是以歐拉函數為基礎。火爆全網的李永樂老師說，歐拉提出的“歐拉恒等式”是史上最完美的數學公式。在數學史上，18世紀可稱為“歐拉世紀”。歐拉不但在數學上做出偉大貢獻，還把數學推廣到了物理學、力學、天文學等領域。法國大數學家拉普拉斯曾說過一句話——讀讀歐拉，他是所有人的老師。

大師生平

歐拉1707年出生在瑞士的巴塞爾城，他13歲就進入巴塞爾大學讀書，得到當時最有名的數學家約翰·伯努利的精心指導。歐拉15歲從大學畢業，16歲獲碩士學位，19歲開始發表論文。1727年，歐拉應圣彼得堡科學院的邀請到俄國執教，1733年，歐拉成為圣彼得堡科學院數學所的所長。1735年，彗星軌道的計算問題是一個擺在所有天文學家面前的棘手的難題。歐洲數學家們估計，解決這個問題需要幾個月的時間。歐拉攻克這個難題僅僅用了三天三夜。他提出了一套計算彗星軌道的新方法，其計算的基本原則沿用至今。但歐拉累得病倒了，并從此失去了右眼的視力，那年他才28歲。

1741年，歐拉受普魯士腓特烈大帝的邀請到柏林科學院擔任物理數學所所長，一待就是25年，那也是德國歷史上數學最輝煌的時期。1766年他回到了俄國圣彼得堡，沒多久，他的左眼視力衰退，最后完全雙目失明，但他沒有因此停止研究。1783年9月18日，求出氣球上升定律的歐拉在興奮中停止了生命和計算，享年76歲。

眾所周知，牛頓和萊布尼茨是“微積分”的創始人，但讀他們的原著令人有恍若隔世、相距遙遠之感，而歐拉寫的數學就是今天數學的形式。應當說，歐拉是推動數學走向現代化的巨擘。

歐拉生活、工作過的瑞士、俄國、德國都把歐拉當作本國的數學家，為有他而感到驕傲。1973年蘇聯天文學家斯米爾諾娃發現了小行星2002，她把它命名為“歐拉”;1957年歐拉250周年誕辰時，東德、西德、蘇聯和瑞士都發行了紀念郵票;瑞士法郎上就印著歐拉的肖像，1998年，瑞士日內瓦大學把架設在智利拉西拉天文臺的口徑1.2米望遠鏡命名為“歐拉望遠鏡”。

著作等身

歐拉是史上發表論文數量第二多的數學家，他的紀錄一直到20世紀才被保羅·埃爾德什打破。他留給后人的著作浩如煙海。他生前說過，他的遺稿足夠《圣彼得堡科學院學報》刊登20年。事實上，圣彼得堡科學院組織人整理歐拉遺著足足忙活了47年。而在歐拉死后的80年中，《圣彼得堡科學院學報》仍持續不斷地發表經過后人整理的歐拉手稿。

他不倦的一生共寫下了886本書籍和論文，其中分析、代數、數論占40%，幾何占18%，成果幾乎覆蓋每一個數學領域：初等幾何的歐拉線，多面體的歐拉定理，立體解析幾何的歐拉變換公式，四次方程的歐拉解法，數論中的歐拉函數，微分方程的歐拉方程，級數論的歐拉常數，變分學的歐拉方程，復變函數的歐拉公式……數也數不清。其余的論文中，物理和力學占28%，天文學占11%，彈道學、航海學、建筑學等占3%。

身殘志堅

歐拉的視力一直在惡化，但是病痛似乎并未影響到歐拉的學術生產力，這大概歸因于他的心算能力和超群的記憶力。他能銘記那個時代所有重要的數學結果，不僅背得出前100個素數，還背得出其中每個素數的前10次冪。歐拉善于心算，非常人所能。一次，他的兩個學生分別計算一個收斂級數的前17項之和，可是他們的計算結果不一樣，和數有50位數字之大，歐拉只憑心算，找出了學生的錯誤。

1771年圣彼得堡大火災殃及歐拉住宅，失明的歐拉被圍困在大火中，雖然他被從火海中救了出來，但書房和大量研究成果全部化為灰燼。歐拉咬牙發誓要把這些成果重新寫下來。歐拉在黑暗中，除發表了大約400篇研究論文之外，還完成了《微積分原理》《積分學原理》《代數學引論》等名著，都是后世幾代數學家必讀的課本。因此，19世紀的大數學家高斯說：“研讀歐拉的著作，永遠是學習數學的不二法門。”

提攜后輩

歐拉胸懷寬廣，樂于提攜后起之秀。他一生中與歐洲300多名學者時有通信，很多人回憶說，歐拉在信中總是毫無保留地把自己的數學發現甚至證明細節告訴對方。

1755年8月12日，19歲的法國大學生拉格朗日給在柏林科學院的歐拉寫了一封信，說自己解決了半個世紀以來沒人能解決的等周問題，其中勾畫了用分析方法求變分極值的嶄新思想。歐拉回信稱贊拉格朗日的研究成果很有價值，并鼓勵他繼續完成整個工作。這使年輕的拉格朗日在學術界聲名鵲起。后來歐拉又把拉格朗日推薦到柏林科學院，還與法國數學家達朗貝爾聯名，向德國國王推薦拉格朗日做“宮廷數學家”。可以說，沒有歐拉就沒有拉格朗日。其實歐拉多年來早已潛心探討等周問題并已有答案，然而見到拉格朗日的解法新穎，便丟棄了自己的手稿，滿心歡喜地推薦了拉格朗日。由于拉格朗日的這篇文章，數學出現了一個新的分支——變分學。后世的數學家們找到了歐拉的手稿，明白了歐拉的高尚想法，如今的教科書里公正地稱歐拉和拉格朗日都是“變分法”的創始人：“變分法”中的基本方程就以歐拉的名字命名;“變分法”中的一條非常基本與重要的原理則被稱為“歐拉—拉格朗日定理”。

歐拉是一位熱心的教育家，也是一位教學名師。他不僅親自為青少年編纂數學課本，撰寫通俗科普讀物，還經常抽空到大學和中學去講課。1770年，雙目幾乎完全失明的歐拉仍然給青年學生編寫了一本《關于代數學的全面指南》。他說：“一個科學家如果只是做出了給科學寶庫增添財富的發現，而不能闡明那些引導他做出這些發現的思想，那么他就沒有給科學做出足夠的貢獻。”

（摘自《意林·作文素材》2020年第3期）