初中數學二元一次方程解題方法

李杰

【摘要】本文通過具體例題的方式闡述二元一次方程的解題方法和策略，通過具體的詳解提高學生的解題能力和素養.

【關鍵詞】二元一次方程;數學解題

1 代入消元法求解二元一次方程組

例題 已知2x+y=4，①

x+2y=5，②求x和y的值.

解題分析 使用代入消元法來求解二元一次方程組，題目中所包含的x、y系數的性質是不相同的;x的系數是1和2，y的系數是1和2，由此可知它們的最小公倍數都為2，因而在解題時，消去x或者消去y，其解題難易程度是相同的.

解題方法 ①式乘以2得：4x+2y=8，

將其進行變換可得：2y=8-4x，③

然后將③代入②式中可得：3x=3，

解得：x=1;把x=1代入①式得y=2.

綜上這個方程組的解是x=1，y=2.

2 加減消元法求解二元一次方程組

例題 已知4x+2y=-5，①

3x-3y=3，②

求x和y的值.

解題分析 根據等式兩邊相等的特性，將二元一次方程組中兩個方程的其中一個未知數前的系數的絕對值變為相等的數值，然后再將兩個方程相加減來消去該未知數，從而使得方程組中只含有一個未知數，進而求解.

解題方法 ①式乘以3得：12x+6y=-15，

②式乘以2得：6x-6y=6，

將這兩式相加得：18x=-9，

所以x=-12，③

將③式代入①式得y=-32.

綜上這個方程組的解是x=-12，y=-32.

3 二元一次方程組的應用

例題1 實驗室有A、B兩種濃度不同的乙醇溶液，A種乙醇溶液中乙醇與水比例為3∶7，B種乙醇溶液中乙醇與水的比例為4∶1，現在實驗室為了做某項實驗，需要一種乙醇與水比例為3∶2的乙醇溶液共50kg，那么請問，A、B兩種乙醇溶液各應準備多少 kg才能夠滿足需求.

解題分析 通過審題可知該題目當中存在兩個未知數，可直接利用二元一次方程組的相關知識來解答.在對題目進行分析后，我們應得知題中所隱藏的幾個相等關系：

（1）所需A、B兩種乙醇溶液的質量之和為50kg;

（2）混合前兩種溶液中乙醇的量與混合后溶液中乙醇的量相等;

（3）混合前兩種溶液水的量和混合后溶液含水的量相等.

解題方法 設A、B兩種乙醇溶液分別取x kg， y kg，列二元一次方程組得：

x+y=50，310x+45y=35×50，

解得 x=20，y=30.

答：A種酒精溶液取20kg，B種酒精溶液取30kg.

例題2某家商店需要裝修，現有兩種不同的裝修方案可供選擇，第一種為：請A、B兩個裝修隊同時裝修，共需8天時間能夠完成，所需支付的裝修費用共計為3520元;第二種裝修方案為：先由A裝修隊單獨裝修6天，然后再由B裝修隊單獨裝修12天，所需支付兩個裝修隊的裝修費用共計為3480元，那么：

（1）A、B兩個裝修隊各工作一天，商店需各付他們多少裝修工錢;

（2）已知A裝修隊單獨完成裝修需要12天，B裝修隊單獨完成裝修需要24天，單獨請哪隊進行裝修，商店所需支付的費用最少.

解題分析 本題共有兩種裝修方案，每種方案中各隱含一個等式.

第1種方案 如果請A、B兩個裝修隊同時裝修，共需8天時間能夠完成商店的裝修工作，所需支付兩支裝修隊費用共計為3520元;

第2種方案 如果先請A裝修隊單獨裝修6天，再請B裝修隊單獨裝修12天也可完成商店裝修工作，所需支付兩支裝修隊費用共計為3480元.

解題方法

（1）設A裝修隊單獨裝修一天商店需付x元，B裝修隊單獨裝修一天商店需付y元，列方程組：

8（x+y）=3520，①6x+12y=3480，②

解得x=300，y=140.

答：A裝修隊單獨裝修一天商店需支付300元，B裝修隊單獨裝修一天商店需支付140元.

（2）單獨請A裝修隊進行裝修，商店需支付300×12=3600元，單獨請B裝修隊進行裝修，商店需支付24×140=3360元.

答：請B裝修隊單獨進行裝修，商店所需支付的費用最少.

例題3 小白的爸爸為了準備小白上學所需要的費用，打算使用兩種不同的存儲方式在銀行共計存儲2000元，其中一種為年利率2.25%的教育儲蓄，另一種則是年利率為2.25%定期存儲，存滿一年后小白的爸爸將錢全部取出，本金和利息共計為2042.75，請問兩種儲蓄各存了多少錢（利息所得稅=利息金額×20%，教育儲蓄不需要繳納利息所得稅）

解題分析 此題為典型的收入問題，這類問題有著一定的難度，題目中所包含的等量關系較為含蓄，在這種情況下我們就可以變換一種解題思路，采用圖表法來對該類問題進行分析，題目中的相等關系量就會呈現出來.

設教育儲蓄存了x元，一年定期存了y元，根據題意可得出如下表格：

教育儲蓄

一年定期

現在

x

y

一年后

x+x×2.25%

y+y×2.25%×80%

解題方法 設教育儲蓄為x元，一年期定存為y元，則列方程組為：

y=2000-x，

（1+0.0225）x+y[1+0.0225（1-0.2）]=2042.75，

解得：x=1500，

y=500.

答：教育儲蓄為1500元，一年期定存為500元.

例題4 現有甲乙兩個帳篷廠，正常生產計劃為一周兩個帳篷廠總共可以生產帳篷9千頂，現某地出現地震，為了抗震救災，現共需帳篷14千頂，經過共同商議兩廠決定在一周內生產出這批帳篷.為此，甲帳篷廠和乙帳篷廠在這一周內生產的效率分別達到了平常的1.6倍和1.5倍，并如期完成了賑災帳篷的生產工作.那么在趕制賑災帳篷的一周內，甲帳篷廠和乙帳篷廠各生產了多少千頂帳篷？

解題分析 經過審題我們可知題目中包含兩個未知量，因而可以利用二元一次方程組的相關知識進行解答，根據計劃前后生產效率的倍數關系，可由已知量和未知量列出兩個等式，即是兩個二元一次方程組成的方程組.

解題方法

設甲帳篷廠生產帳篷x千頂，乙帳篷廠生產帳篷y千頂，由題意得：x+y=9，1.6x+1.5y=14，

解得 x=5，y=4.

答：甲帳篷廠總計生產帳篷8千頂，乙帳篷廠總計生產帳篷6千頂.