例談一類幾何最值模型

徐智勇

幾何最值計算是初中數學學習中的一項重要內容，涉及到的知識豐富，方法靈活！解題實踐中借助一些成熟的最值模型往往可以事半功倍，本文從一個實例開始引入一類簡便的最值模型并給出初步應用.

引例 如圖1，點C為線段BD上一點（不包括端點），在同側作等邊△ABC及等邊△ECD，且BD=2，連接AE.求AE的最小值.

常用解法如下.

解 如圖2，分別過點A，E作AF⊥BC，EG⊥CD，交BC，CD于點F，G，再過點A作AH⊥EG，交EG于點H.于是，G四邊形AFGH為矩形，

故AH=FG=FC+CG

=12BC+12CD=12BD=1，

且AH≤AE，

進而AE最小=1.

注 容易知道當且僅當點E與點H重合時，AE取得最小值1，此時，EG=HG=AF，即BC=CD，點C為BD的中點.同時，注意到在點C移動過程中，△ACE始終保持∠ACE=60°及AC+EC=BC+DC=BD=2，因此猜想以下結論成立.

結論1 如圖2，在△ABC中，∠A=θ及AB+AC=m，則當且僅當AB=AC時，BC最小=m·sinθ2.

證明 如圖4，若AB=AC，易知BC=m·sinθ2，故僅需證明AB≠AC時，BC>m·sinθ2即可.不妨設AB

AD=AE=m2，

即BD=CE，

分別過點D，C作DF∥BC，CF∥AD，CF交DE延長線于點G，進而BC=DF，

BD=CE=CF，

且由AD=AE及CF∥AD可知

CG=CE，

進而CG=CE=CF，

則∠FEG=90°，

從而BC=DF>DE=m·sinθ2.

證畢.

由以上構造可以知道，C，E兩點越靠近，|AB-AC|越小，結合CE∶CF∶EF為定值（由θ決定），可知EF越小，進而BC（DF）逐漸減小并接近于DE.因此，可以得到一個三角形全等的判定結論，即“兩個三角形有一對角及其對邊相等，且這對相等角的夾邊之和亦相等，則這兩個三角形全等”.

下面給出一些基本應用.

例1 如圖3，點P為邊長為2等邊△ABC邊AB上一動點，分別過點P作PD⊥BC，PE⊥AC，交BC，AC于點D，E，連接DE.求DE的最小值.

解 由已知條件可知

sinB=PDPB=32，

sinA=PEPA=32，

故PD+PE=32（PB+PA）=32×2=3，

且易知∠DPE=120°，

故滿足結論1使用條件，進而DE最小=3·sin120°2=32，此時PD=PE，即點P為AB中點.

注 這種計算最值的方法關鍵在于找到含有定角且夾邊之和為定值的三角形.本例中對使用結論1同樣可行，且與一般的利用P，D，C，E四點共圓來解決問題的方法比較也顯得更直接一些！

例2 如圖4，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，D為AB中點，E，F分別為AC，BC上的動點，且滿足DE⊥DF，連接EF.求EF的最小值.

解 如圖7，連接CD，則由已知條件易知

△CED≌△BFD，

故CE=BF，

即CE+CF=BF+CF=BC=22AB=1，

且∠ACB=90°，

進而由結論1可知

EF最小=1·sin90°2=22.

注 解決本例的另一方法是由條件先證得△DEF為等腰直角三角形，發現EF與DF存在固定比，即EFDF=2，從而將EF的最值問題轉化為DF的最值問題，易知當DF⊥BC時，DF取最小值12，即EF最小=22.

例3 如圖5，點O是△ABC邊AC的中點，連接BO，且∠ABC=60°，AB+CB=2.求AC+BO的最小值.

解 如圖9，延長BO至點D，使得BO=DO，連接AD，CD.

結合條件知四邊形ABCD為平行四邊形，

進而AB+CB=DC+BC=2，

且∠BCD=180°-∠ABC=120°，

故可對△ABC及△DCB同時使用結論1，即當AB=BC=DC時，AC與BD同時取得最小值，且BO=BD2，

故AC+BO亦取得最小值，即得

（AC+BO）最小=1+32.

注 本例若僅對△ABC使用結論1只能得到AC的最小值，并不能解釋AC+BO亦取得最小值，需要借助類似于上述構造方法，得到一個整體最值判斷！

再作變式延伸，保持結論1中的定角條件不變，將對邊改為定值，則存在關于夾邊之和與夾邊之積的兩個最值結論如下：

結論2 如圖6，在△ABC中，∠A=θ及BC=n，則（AB+AC）最大=nsinθ2，當且僅當AB=AC時取得最大值.

證明 如圖，若AB=AC，易知AB+AC=nsinθ2，故僅需證明AB≠AC時，AB+ACAC，作△ABC的外接圓⊙O，取弧BAC中點A′，則A′B=A′C，∠BA′C=∠BAC，現在僅需證明A′B+A′C>AB+AC.延長BA′，使得A′B=A′C=A′D，連接CD，再延長BA，交以A為圓心AC為半徑的圓于點E，連接DE，A′E，AA′.由點A′是弧BAC中點可知

∠A′AB=∠A′BC，

且∠A′AB+∠A′AE=180°及∠A′BC+∠A′AC=180°，

故∠A′AE=∠A′AC，結合AE=AC，A′A=A′A.可知

△A′EA≌△A′CA，

進而A′E=A′C=A′B=A′D，

即∠BED=90°，從而BD>BE，亦即

A′B+A′D=A′B+A′C>AB+AE=AB+AC.證畢.

結論3 在△ABC中，∠A=θ及BC=n，則（AB·AC）最大=n24sinθ2，當且僅當AB=AC時取得最大值.

可以借助面積法加以解決，具體證明留作練習.圖7

練習

1.如圖7，△ABC中，∠BAC=120°，AB+AC=23.求△ABC外接圓半徑最小值.

2.證明結論3.