關于提高初中生運算能力的若干思考

鄭明娥

數學運算能力是最基礎又應用最廣泛的一種能力，運算能力是思維能力和運算技能的結合。計算能力是學習數學和其他學科的重要基礎和保障。不論是數學、物理、化學中的哪一科，始終都需以計算為前提。從近三年的福建省中考數學試卷來看，有40%的內容需要運算來進行解題，而且65%的題目都需要直接或間接通過計算來解決相應的問題，運算量有逐年增加的趨勢。當前初中生運算能力整體偏弱，一些學生因計算出錯與高分失之交臂，導致自信心嚴重不足，甚至出現心理障礙。提高學生的運算能力已是亟待解決的問題。

一、理解算理，夯實運算根基

《義務教育數學課程標準（2011版）》指出：“在基本技能的教學中，不僅要使學生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學生理解程序和步驟的道理”。當下很多老師認為運算教學關鍵是掌握算法，將公式法則教學為“告知執行”，將“記公式法則，用公式法則”作為手段，通過做大量的練習來提高學生的運算能力，忽略公式法則的形成過程。事實上，有些學生運算出錯的重要原因是“法則混淆，記憶出錯”，究其原因是沒有經歷公式法則的獲得過程。因此在運算教學中，公式法則的由來是核心，它能幫助學生理解算理，掌握算法。因此在實際教學中，教師要給學生充足的時間和空間進行探索，獲得公式法則的形成過程。

例如，在“整式的乘法”這一章的完全平方公式有兩個（a±b）2=a2±2ab+b2在具體應用時很多學生直接寫成兩數的平方和（差）或者出現了項的概念不明確漏掉系數。出現以上錯誤的原因是教師把教學過程的重心放在了對公式的運用上。為了避免出現以上錯誤，本節課可以這樣設計。

在（x+6），（x+6），（x-6），（2y+8）（2y-8），（2y-8）這些多項式中任意取兩個相乘（寫在黑板上）

問題1：哪個算式你能快且準地計算？（追問：為什么能“秒殺”？）

問題2：其他算式你是怎樣計算的？

問題3：哪些算式在形式上比較特殊？具有怎樣的特征？（具有共性特征的等式往往具有研究價值）

問題4：觀察（a+b）2=a2+2ab+b2，（2a+1）2=4a2+4a+1， （a+6）2=a2+12a+36，你發現了什么規律？（讓學生獨立思考，歸納、總結出完全平方公式，并用文字語言敘述）

問題5：你能從多個角度說明完全平方公式的特征嗎？

①用多項式乘以多項式進行驗證（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2

②帶入數字驗算

③利用圖形驗證完全平方公式a

問題6：我們要怎樣記憶完全平方公式？①用字母表示（a+b）2=a2+2ab+b2

②用形象的符號代替字母表達完全平方公式：

③采用完全平方公式口訣進行教學（首平方，尾平方，首尾2倍在中間）

通過問題串的形式引導學生進行觀察與思考，找出特征，再用類比的方法推導出完全平方公式。通過幾何圖形驗證公式，再一次深層次地領悟公式中a、b所表示的意義，2ab的產生過程。也讓學生體驗到了由特殊到一般的研究方法，數形結合的思想，為今后用數學思想解決問題提供了思維模式和空間。

二、規范表達，固化運算技能

學生運算的準確率和速度很大程度上取決于學生的運算習慣，在初學法則鞏固運算法則的過程中，規范表達顯得尤為重要。規范表達就是嚴格要求學生按照必要解題步驟進行敘述和書寫，這種規范表達的過程就是強化運用法則的過程，也是使學生的思維系統化、嚴謹化的過程。如“完全平方公式”一課中完全平方公式推導驗證后，緊接著就是例題教學了。在這個過程中不僅要嚴格套用公式，還要標注好公式中的a、b。

如解：（2x+1）2=（2x）2+2x2x+1+12 ！

說明：學生在學習了平方差和完全平方公式后，很多學生就把（2x+1）2=（2x）2+1或者等于 2x+2x+1，這里讓學生標注a，先審題確定是利用完全平方公式進行計算，再在頭腦中背出公式，最后確定公式中的a、b對應的具體數字，讓自己的思維可視化。強化訓練到基本無誤后，就不必標a、b，但在用公式時仍需要學生默背公式。

又如，在解不等式21x=215-1+1

解：去分母得2+x6≤2131x6+1x6（不等號方向不變）

（1） （2+x）≤2（2x-1）+6

去括號得6+3x≤4x-2+6（2）

移項得3x-4x≤-2+6-6（3）

合并同類項（4）

系數化為1得（不等號方向改變）（5）

x≥2

說明：在學生初解不等式時，以上步驟最好都體現出來，不能出現跳步。而且對運算能力較弱的學生要求體現第一步，防止學生對方程右邊整數項沒有同時乘以公分母，導致最終計算結果出錯。第五步也需強化，這樣書寫不但強化算法，還避免出現—2沒有除以—1的現象。這種規范讓學生進一步明白每一步的算理和算法，當然在達到一定的熟練程度后可優化解題步驟，如（1）和（5）兩步就可省略了。

要讓學生養成規范的表達習慣，不僅需要教師例題的板書示范，還需要教師對學生嚴格要求和持之以恒地貫徹落實。讓學生在運用法則的過程中體驗規則意識，學會按規則計算，按步驟書寫，對提升學生的運算能力效果顯著。同時能幫助學生養成按規定辦事、有序思考的辦事習慣，這些習慣對學生的終身發展起重要作用。

三、巧用錯題，提高思辨能力

《義務教育數學課程標準（2011年版）》總目標提出“學生應初步形成評價與反思意識”，俗話說“失敗乃成功之母”，從錯誤中吸取經驗和智慧應該是它的內涵。學生在計算過程中總是會出現各種各樣的錯誤，且防不勝防，教師不能對學生一味地指責。我們要變廢為寶，挖掘錯誤的價值運用到數學教學中。

首先，教師要指導學生進行錯因分析。有些學生計算中出現了錯誤，老師讓其訂正后，他在考試中做同類題目時，又出現同一知識點錯誤，而這個錯誤只要一點出來，學生就會恍然大悟，甚至捶胸頓足。原因就是學生根本就沒有認真反思錯誤的原因，只是單純地把題目重做一遍。針對這種現象，老師一定要指導學生進行錯因分析，到底錯在哪一步，為什么錯？學生改正錯誤后，再給學生一個變式的訓練，他們才能完成正確的求解過程，做到橫向突破。

其次，典型錯誤案例展示。老師在長期的教學過程中都有一套糾正錯誤的思路，但同一個錯誤背后的原因可能有所不同。在課堂中可以收集一些錯誤典例展示到黑板上，讓全體學生共同辨析錯在哪兒，為什么錯，怎樣預防錯誤。可以借助其他學生的錯誤算法警示，讓錯誤變成資源并加以有效利用，提高學生的運算能力。

最后，建立學生錯題本。鼓勵學生把做錯的題目收集起來，經過分類、歸納、整理逐步內化成自己所需的東西。錯題本的解題整理，要用正確的解法，在易錯點旁邊標注法則、方法、注意點，考試之前蓋住答案重新做，可提高運算速度及準確性。

四、綜合訓練，提升心理素養

心理因素也是影響學生運算能力的重要因素。首先，張冠李戴。初中生的感知能力不強，注意力分配能力不足，缺乏對信息深入的分析和加工處理。計算中學生把數字、符號看錯或抄錯，如—24x5，學生一看題目就寫上100。其次，僥幸心理。把計算出錯歸因為“粗心”，每次計算錯誤都可以原諒，老師在評價學生時也說這孩子太粗心、不認真，學生自身沒認識到計算的重要性、出錯的嚴重性，沒沉下心分析“出錯”的原因和采取補救措施。最后，畏難情緒。有些學生常因計算題繁雜難解而產生消極情緒，表現為沒有信心，不能認真地審題，沒有耐心去選擇合理的算法。

教師要利用科學、有效的訓練模式來提高學生的運算水平，提升心理素養。以有理數的混合運算的訓練為例，首先，讓程度好的學生自編、改編計算題目，要有足夠的量，剛開始可以全是整數計算。其次，進行“正負24點”游戲比賽。最后，限時讓學生訓練，做到不打草稿、不跳步、不允許檢查，訓練時量務必要大，爭取做到每一題混合運算的試題都能“秒殺”。通過這樣的強化訓練不僅能提高學生的心理素質，還可糾正學生不良的計算習慣，形成良好的數學品質。

總之，提高學生的運算能力是一項艱巨、長期的教學任務，我們要從思想上高度重視運算能力的培養和提高，通過讓學生掌握數學運算算理和算法，規范解題步驟，利用錯題辨析，提升心理素養，幫助學生打好數學計算基礎，提升計算速度與準確率，全面促進學生整體學習能力的提升。

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注：本文系大田縣2020年基礎教育研究立項課題“核心素養視域下提高初中數學運算能力的實踐研究”（TKTZ—2060）研究成果。