因為需要，數(shù)學(xué)“活”出精彩

包仁琴

【摘? 要】沒有需要，就沒有真正的數(shù)學(xué)活動。在數(shù)學(xué)活動中做到：基于已知，是活動能力的需要;善于呈現(xiàn)，是思維媒介的需要;精于評價，是數(shù)學(xué)社交的需要，有了這些，數(shù)學(xué)活動才能“活”出精彩，這種精彩怎樣延續(xù)下去，才能實現(xiàn)真實有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

【關(guān)鍵詞】基于已知;善于呈現(xiàn);精于評價;需要; 活動能力;思維媒介;數(shù)學(xué)社交

【案例背景】

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程要面向全體學(xué)生，適應(yīng)學(xué)生個性發(fā)展的需要，學(xué)生的學(xué)習(xí)活動是一個生動活潑的、主動和富有個性的過程。

我們在聽課中看到各種活動單：學(xué)習(xí)單、研究單，探究單，一節(jié)課上，還會有探究活動一、探究活動二……但經(jīng)歷下來總有遺憾：活動之后大部分學(xué)生開始旁聽，變成教師和幾個學(xué)生的精彩。數(shù)學(xué)活動怎樣“活”出精彩？這種精彩怎樣延續(xù)下去才能讓學(xué)生在一節(jié)課中全程參與，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正地發(fā)生？

【案例描述】

一、初次執(zhí)教《圓錐的體積》

課前準(zhǔn)備：圓柱、圓錐容器和水等等，在復(fù)習(xí)了圓柱的體積公式、圓錐的特征及各部分名稱后，揭示課題并出示研究單：⒈估計一下等底等高的圓錐的體積是圓柱的幾分之幾？⒉你準(zhǔn)備如何驗證自己的估計結(jié)果，在小組里說說思路。⒊動手操作，驗證自己的想法。

小組活動后我分別找兩個學(xué)生上臺，從不同角度展示實驗：

實驗1：在圓錐里注滿水，再倒入圓柱里。

我問：圓錐的體積正好是與它等底等高的圓柱體積的幾分之幾？你的估計對嗎？

生：3次正好倒?jié)M，是三分之一，我估計對了！

實驗2：在圓柱里注滿水，再倒入圓錐里。

我問：圓柱的體積正好是與它等底等高的圓錐體積的幾倍？

生：能倒3次，說明圓柱的體積正好是與它等底等高的圓錐體積的3倍。

我又問：根據(jù)上面的實驗，想一想，可以怎樣求圓錐的體積？

學(xué)生回答，我隨機板書：圓錐的體積=底面積×高×1/3，字母公式：V=1/3Sh。

最后小結(jié)：這節(jié)課我們學(xué)了什么？你有哪些收獲？

這節(jié)課下來，我索然無味，疲憊不愖：1.學(xué)生除了 做實驗時表現(xiàn)出較高的興趣，其他時候沒精打采，除了回答我的問題外，沒有提問交流等主動行為，我努力地引導(dǎo)學(xué)生深入重點，可學(xué)生卻成了旁觀者;⒉學(xué)生的態(tài)度是，早就知道了，只是再證明一下而已，實驗只是好玩，并沒有深入探究思考的境界;⒊水潑得到處都是，導(dǎo)致做實驗浪費了大量時間。

二、再次執(zhí)教《圓錐的體積》

這學(xué)期，又到了上這節(jié)課的時候，為了避免重蹈覆轍，我對初次執(zhí)教進行了回顧，又分析了學(xué)生當(dāng)前情況。同樣復(fù)習(xí)并板書相關(guān)知識后，圍繞“探究圓錐的體積計算方法”，我開展了三個板塊的數(shù)學(xué)活動：

活動一：猜想式談話。

首先我跟學(xué)生進行了一番以“猜想”為形式的談話：⒈到現(xiàn)在我們已經(jīng)認(rèn)識了哪些立體圖形的體積，接下來你想研究哪個立體圖形的體積？（學(xué)生：圓錐）⒉根據(jù)經(jīng)驗，要研究圓錐的體積，你想到了哪個圖形？（學(xué)生：圓柱）⒊（出示圖：一個圓錐和幾個與之有各種聯(lián)系的圓柱：或等底、或等高、或等底等高、或不等底不等高）你覺得研究這個圓錐的體積，哪個圓柱更合適呢？（學(xué)生：選擇等底等高的那個）⒋（出示圖：等底等高的圓柱和圓錐）猜一猜，這個圓錐與圓柱的體積會有什么關(guān)系呢？（生：二分之一、三分之一）

這個談話過程很輕松，學(xué)生表現(xiàn)得很活躍，都搶著表達自己的想法，根據(jù)學(xué)生的猜想，我在黑板上板書：二分之一和三分之一。接著，我問：同學(xué)們的猜想對不對？下面我們需要做什么呢？（學(xué)生：我們要做實驗驗證一下）

我問：你想怎樣驗證？

學(xué)生提出各種辦法……

活動二：自主探究驗證。

我拿出一袋學(xué)具（包括圓柱和圓錐容器，一袋鹽），請同學(xué)上臺比較一下這個圓柱和圓錐的底面積和高，確認(rèn)：圓柱和圓錐底面積相等、高也相等。然后出示活動要求，讓學(xué)生閱讀，明確活動步驟：

小組活動

（1）做一做：在圓錐容器里裝滿鹽，再倒入空的圓柱形容器里，看看幾次正好倒?jié)M。

（2）說一說：通過實驗，你能得到什么結(jié)論？

我問：你覺得在研究過程中要注意什么？

生：我要提醒大家裝鹽時讓鹽的高度和圓錐的上面要平齊，這樣才能保證得到的結(jié)果準(zhǔn)確。

開始研究，我巡視，并及時點評。結(jié)果，每個小組都小心地“刮”一下，讓鹽的高度和圓錐的上面要平齊，實驗過程很安靜，每個組都嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致。一組（四位）同學(xué)實驗完搶著要上臺交流（臺上，我已經(jīng)準(zhǔn)備了一盆水和等底等高的兩個大圓柱和圓錐容器）。

我提醒：下面請睜大你智慧的眼睛，仔細(xì)看，發(fā)現(xiàn)問題，要及時告訴他們哦！

四人配合得很好：生1拿容器，生2倒水，生3說：“這個圓錐容器的水倒入圓柱，正好是1/3”。立即有同學(xué)舉手，“你這個圓柱里的水好像不是1/3?！?/p>

臺上：確實，我們剛才做實驗的時候漏了一些，所以有了誤差，下面我們會細(xì)心的。

臺下：你這個1/3，看著也不明顯，我建議往里面撒點紅墨水。

他拔出自己的紅色自動筆芯，跑上臺往水里用力擠了一些，水立即變紅了，底下同學(xué)發(fā)出了驚呼聲。有了同學(xué)們的建議，臺上的學(xué)生做實驗更加細(xì)心了，臺下的一雙雙眼睛跟法官似地盯著他們的動作，專心極了。實驗做完了，第四位同學(xué)總結(jié)道：通過實驗，我們小組發(fā)現(xiàn)圓錐體積真的是圓柱體積的1/3。大家有什么疑問或補充嗎？

臺下：我要提醒你，你們剛才說圓錐的體積是圓柱體積的1/3，這句話是錯的，要先強調(diào)它們是等底等高才行。

臺上：嗯嗯，你說得對！謝謝你的提醒！我更新一下，等底等高的圓錐的體積是圓柱體積的1/3。

在大家的掌聲中，這場驗證交流活動結(jié)束了。

我問：現(xiàn)在，你知道怎樣計算圓錐的體積嗎？學(xué)生說，我隨即板書在黑板上：圓錐的體積=底面積×高×1/3，字母公式：V=1/3Sh。

活動三：回顧驗證過程。

我問：“回憶一下，你們剛才是怎么研究出圓錐體積公式的呢？”隨著同學(xué)們的回憶，我板書研究過程：提問—猜想—驗證（比較、實驗）—結(jié)論。

我接著問：“經(jīng)歷這個研究過程，你有什么體會或者收獲呢？”

“我知道了等底等高的情況下圓錐的體積是圓柱的1/3，圓柱的體積是圓錐的3倍?！?/p>

“我們小組一開始以為圓錐的體積是圓柱的1/2，實驗以后才發(fā)現(xiàn)是1/3?！?/p>

“我們小組得出的結(jié)論并不是1/3，我們剛才對比了一下，發(fā)現(xiàn)原來我們的圓錐和圓柱并不是等底等高！老師，你給錯容器了！”

我哈哈大笑，底下同學(xué)立即明白，嚷嚷道：“老師，這是你給的陷阱吧？”

我說：“是??！所以你現(xiàn)在想提醒大家什么呢？”

“我要提醒大家的是只有等底等高的圓錐才是圓柱體積的1/3！”

【案例反思】

跟初次執(zhí)教比，再次執(zhí)教時，學(xué)生無論是活動還是活動后的交流互動，都認(rèn)真專注、積極大膽，我儼然成了旁觀者、局外人。除了因為學(xué)生不同外，第一次課中各種活動不能滿足學(xué)生的需要，而第二次課上的活動是以學(xué)生內(nèi)在需要為出發(fā)點的，所以學(xué)生真的“活”動起來了。從需要出發(fā)設(shè)計數(shù)學(xué)活動，就是抓住了學(xué)生與生俱來的心理需求，學(xué)生因為需要而喜歡。

一、基于已知，活動能力的需要。

學(xué)生在這節(jié)課之前，已經(jīng)有過聯(lián)系長方體體積尋找圓柱體積公式的研究經(jīng)驗，也學(xué)習(xí)了圓錐的圖形特征，受外部因素影響，對圓錐體積公式也早有耳聞，因此在初次執(zhí)教的課堂中，學(xué)生覺得自己早就會了，沒有研究的必要了，所以沒有參與活動的動力。而再次執(zhí)教課上，我采用四個猜想式談話，逐層深入，這個環(huán)節(jié)，抓住了學(xué)生的能力點，已有的圓柱體積公式的研究經(jīng)驗成為重要優(yōu)勢，促使他們根據(jù)經(jīng)驗想到要研究圓錐的體積，要找一個與圓錐等底等高的圓柱來研究，并猜測圓錐和圓柱體積的關(guān)系，所以學(xué)生放得開，猜測也很大膽，不再受已有公式的干擾，不僅讓研究的方向清晰明確，也增強了研究活動的實際意義。

猜想式談話，一方面調(diào)動了學(xué)生已有的經(jīng)驗，激勵他們將已有經(jīng)驗自覺遷移，讓他們體驗到學(xué)有所用的快樂;另一方面，猜想活動滿足了學(xué)生的心理需要，讓他們有著強烈的個人存在感，期待著將要發(fā)生的事情。

基于已知，就是基于學(xué)生所屬的能力階段，促進學(xué)生對未知進行個性化的規(guī)劃，取得學(xué)習(xí)主動權(quán)，為下一步的數(shù)學(xué)活動做好知識上和心理上的充分準(zhǔn)備。

二、善于呈現(xiàn)，思維媒介的需要。

一要呈現(xiàn)合適的研究材料。實際教學(xué)中，教師在學(xué)習(xí)材料的呈現(xiàn)上往往會出現(xiàn)“越多越好、越新鮮越好、學(xué)生表現(xiàn)得越開心越好”這類觀點，而忽視了學(xué)生個體思維的真實需要。上文中的初次執(zhí)教，小組活動時水潑灑導(dǎo)致學(xué)生忙著擦桌子而忘記了思考，嚴(yán)重阻礙了學(xué)生繼續(xù)探究的進程;再次執(zhí)教改成了細(xì)鹽，學(xué)生操作起來方便易行，直接將目光放在了驗證重點上。而當(dāng)四位同學(xué)上臺展示驗證過程時，則將材料改成了一盆水和兩個超大的等底等高的圓柱和圓錐容器。因為這時的材料符合全班同學(xué)的視覺需要，看得清楚，而正是因為視覺需要，促使那位同學(xué)主動上臺往水里灑點紅墨水，讓1/3的印象更加深刻。二要呈現(xiàn)簡易的活動要求。上文中再次執(zhí)教課上，把新知猜想、活動策劃放在談話中進行，既很好地調(diào)動了學(xué)生的求知欲，又促使學(xué)生主動構(gòu)建驗證活動前的準(zhǔn)備工作。在此基礎(chǔ)上出示的活動簡潔明了、目標(biāo)明確，活動流程清晰、直擊重點，完全契合學(xué)生此時驗證和思考的需要，所以學(xué)生表現(xiàn)得非常專注，興致盎然。

善于呈現(xiàn)，關(guān)注的是學(xué)生思維媒介的需要，讓學(xué)生在抽象的數(shù)學(xué)知識里體驗到直觀的有思維深度的快樂，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到延續(xù)。

三、精于評價，數(shù)學(xué)社交的需要。

數(shù)學(xué)課堂就是一個小社交圈，學(xué)生需要被肯定，從而更好地展現(xiàn)自己。上文中老師的一句“你刮得真仔細(xì)！”讓這位學(xué)生充滿自信，也激勵其他學(xué)生積極模仿。高爾基說：當(dāng)你感到一切人都需要你的時候，這種感情就會使你有旺盛的精力。初次執(zhí)教中，數(shù)學(xué)活動只是個體行為，學(xué)生沒有被需要的自豪感，思維受到限制;再次執(zhí)教中，數(shù)學(xué)活動是集體的合作行為：⒈四人上臺展示實驗過程，他們互相陪伴、互相評價、互相支持;⒉談研究過程中的收獲，很多學(xué)生都講到了小組內(nèi)共同收獲與感受，說明學(xué)生需要同伴的參與，而組員的評價，能再次激起同伴的共鳴。評價自己、評價他人、評價集體，會促使自己更加用心傾聽別人的發(fā)言，不僅能發(fā)現(xiàn)別人的精彩觀點，還能提出不足或者錯誤，逐漸提高數(shù)學(xué)交流的能力。

精于評價，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的社交需要，是學(xué)生自我實現(xiàn)的基礎(chǔ)，學(xué)生在積極的數(shù)學(xué)社交中，得到了來自伙伴的幫助和鼓勵，才會充滿信心，思維的火花熱情碰撞，才會更加積極主動地參與一次又一次的數(shù)學(xué)活動。

馬克思說：沒有需要，就沒有生產(chǎn)。我想說：沒有需要，就沒有真正的數(shù)學(xué)活動，在數(shù)學(xué)活動中做到基于已知，善于呈現(xiàn)，精于評價，數(shù)學(xué)活動才能“活”出精彩。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）北京師范大學(xué)出版社，2012年1月.