小學生數(shù)感建立的幾個著力點

時麗宏

數(shù)感自1954年被提出以來，已成為數(shù)學教育的重要主題之一。我國一直到2001年才在《全日制義務教育·數(shù)學課程標準（實驗稿）》中把數(shù)感問題作為數(shù)學學習的主要內(nèi)容之一。在2011年的數(shù)學課程標準中把數(shù)感作為10個數(shù)學核心素養(yǎng)之一，這樣描述：“數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量，數(shù)量關(guān)系，運算結(jié)果估計等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。”數(shù)學界有學者在利用數(shù)感理論與不利用數(shù)感理論的對比教學中，發(fā)現(xiàn)利用數(shù)感理論對小學生數(shù)學思維的培養(yǎng)方面效果突出，所以，在小學生數(shù)學學習中，建立數(shù)感非常重要。小學生數(shù)感的建立可以從以下幾點著力。

一、數(shù)學學習情境化

數(shù)學課程標準在整數(shù)的學習內(nèi)容中，這樣規(guī)定：“在現(xiàn)實情境中理解萬以內(nèi)數(shù)的意義，能認、讀、寫萬以內(nèi)的數(shù)”。在小數(shù)和分數(shù)的學習內(nèi)容中，這樣規(guī)定：“能結(jié)合具體情境初步認識小數(shù)和分數(shù)，能讀、寫小數(shù)和分數(shù)”“能結(jié)合具體情境比較兩個一位小數(shù)的大小，能比較兩個同分母分數(shù)的大小”。這里反復出現(xiàn)的一個詞是情境。無論是理解整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的意義，還是認、讀、寫以及比較大小，都是在具體的情境中進行的。小學生的數(shù)感主要是對整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的感悟，對整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的相等與不等，大與小的感悟，而這些感悟，首先是在情境中的直覺，離開具體的學習情境的死記硬背違背了小學生的學習規(guī)律，也與當今時代不適應。研究表明，科技發(fā)達的今天，數(shù)學思維比準確的運算更重要。尤其是數(shù)感中運算結(jié)果的估計更需要在情境中進行，因為估算是數(shù)量的估計，與精算中數(shù)的計算不同，數(shù)量是對具體事物數(shù)量特征的描述，是具體的，在一定的情境中進行的。

義務教育階段小學數(shù)學的編寫，雖然版本比較多，但是都圍繞課程標準，數(shù)學學習具有鮮明的情境化特點。在學習過程中，教師需要對數(shù)學情境進行準確而生動地描述，讓學生切身感受自己是學習的參與者，通過數(shù)學的眼光，運用數(shù)學思維認識社會現(xiàn)象，理解數(shù)學在生活中的重要作用。教師也可以讓學生描述教材中用圖文展示出來的學習情境，在描述中直觀感受數(shù)量與數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別。

對數(shù)的認識從對數(shù)量的認識開始，數(shù)量的認識體現(xiàn)在具體的物上，如3頭牛，5只羊，7斤大米，對它們進行描述，有一定的量詞，停留在具體的物上。如果沒有進一步抽象，那么這種認識仍然不能發(fā)展成數(shù)學，但是這是數(shù)學的萌芽，它是從數(shù)量的角度認識牛、羊、大米的。又因為3頭牛，5只羊，7斤大米不是同一類，所以數(shù)與數(shù)之間沒有可比性。如果是3頭牛，5頭牛，7頭牛，具有共同點，則有了可比性，更容易從數(shù)量抽象到數(shù)，可以得出3<5<7，由此可以發(fā)現(xiàn)，小學生數(shù)感建立的情境設計應以有利于數(shù)學思維的發(fā)展為原則。不是任意情境都有利于小學生數(shù)感的建立，如果不從小學生的角度出發(fā)，建立的學習情境很可能成為學習的障礙。

在從數(shù)量到數(shù)的數(shù)感建立過程中，作為數(shù)的標記的0、1、2、3……這些符號起到了重要的作用。據(jù)研究，生活在澳大利亞的原始部落，對數(shù)量的認識只有1、2和許多之分。在對烏鴉的數(shù)量識辨的研究中，發(fā)現(xiàn)烏鴉能確定4以內(nèi)的數(shù)量，大于等于5的數(shù)量烏鴉就無法確定。究其原因，是沒有數(shù)字符號。所以數(shù)字符號的出現(xiàn)和數(shù)位、進位制等數(shù)學原則的確定，是數(shù)學的一大進步。我國古代數(shù)學研究有許多領先領域，但是受數(shù)學符號的限制，影響了數(shù)學的發(fā)展，都說明數(shù)學符號的重要作用。作為計數(shù)符號的數(shù)字，在數(shù)學學習中具有奠基作用。由此可見，從情境中感悟的數(shù)量，要上升到數(shù)的領域，必須創(chuàng)造數(shù)字符號，規(guī)定相關(guān)原則。要學習數(shù)學，必須識記這些數(shù)字、數(shù)位和十進位制，但是，這些識記的東西又不能讓學生死記硬背。對數(shù)量與數(shù)的感悟中，既有一個從形象到抽象的過程，又有一個從抽象到形象的過程，所以需要識記的數(shù)字、數(shù)位和十進位又要在具體情境中理解記憶。小學生在這種互為相反的過程中既可以建立數(shù)感，同時也深化對數(shù)的感悟，進而認識并理解人們?nèi)绾瓮ㄟ^數(shù)學思維認識社會現(xiàn)實，而不是只把數(shù)學理解成加減乘除。數(shù)學學習興趣的激發(fā)與養(yǎng)成，正是在情境化學習中發(fā)現(xiàn)它神奇的地方。在小學數(shù)學教學中因為急于得出加減乘除的準確結(jié)果，提高數(shù)學分數(shù)，卻扼殺了部分學生對數(shù)學的好奇心。所以，課程標準反復強調(diào)數(shù)學學習的情境化，建立數(shù)感，有利于學生的長遠發(fā)展。

二、數(shù)感建立方法多樣化

數(shù)感的建立方法是多樣的。對數(shù)量的感悟側(cè)重于情境中的形象化，是對事物數(shù)量方面的感知與描述，但數(shù)量的描述是向抽象思維的轉(zhuǎn)化，而數(shù)的感悟是基于對數(shù)量的認知。對整數(shù)的感悟是基礎，尤其是人們在感悟整數(shù)的過程中數(shù)字符號的創(chuàng)造，數(shù)位的規(guī)定，十進位原則的建立，這些是認識分數(shù)與小數(shù)的基礎。要建立并發(fā)展數(shù)感，可以運用多種多樣的方法。

（一）在參與社會活動中建立數(shù)感

例1：同學們經(jīng)常隨爸爸媽媽到超市購物，請同學們把某一次所購商品的單價做一記錄，購物結(jié)束后，問問爸爸媽媽總共花了多少錢，你從中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

通過這次社會實踐活動，學生會發(fā)現(xiàn)總共花的錢大于商品的單價，如果將所購商品的單價相加，就會得出總價=單價+單價+單價的規(guī)律。如果所購商品相同，就會得出總價=單價×數(shù)量的規(guī)律。正是在這些社會實踐活動中，數(shù)量與數(shù)量之間的關(guān)系，數(shù)與數(shù)的關(guān)系，就會在頭腦中形成直觀的感知，尤其是在這種實踐中對數(shù)量關(guān)系的推測與探究以及規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，能培養(yǎng)學生用數(shù)學思維思考并解決生活中的問題的能力，這種能力的培養(yǎng)是受益終生的。在這里，學生在對數(shù)量關(guān)系的感悟中建立了數(shù)學模型。數(shù)學課程標準中第二學段有兩個重要的數(shù)學模型，一是總價=單價×數(shù)量，一是距離=速度×時間。感悟數(shù)量關(guān)系從某種意義上講也是一種數(shù)學建模思想。這種在社會實踐中數(shù)感的建立方法在數(shù)學學習中可以螺旋式上升，隨著年齡的增長及社會閱歷的豐富，問題的提出也可在難度上逐步提升，甚至不設置問題，讓學生自己提問，培養(yǎng)數(shù)學創(chuàng)造性思維。

（二）在動手操作中建立數(shù)感。

例2：伴隨同學們學習的小書桌，是你的不說話的好朋友。請同學們拿出各自準備的測量長度的工具，量一量小書桌的長、寬、高，寫一寫，讀一讀。

在這個案例中，測量長度的工具，可能出現(xiàn)卷尺、直尺、三角尺等，而計量單位可能出現(xiàn)米、分數(shù)、厘米、毫米，也可能出現(xiàn)尺、寸等，而數(shù)量可能出現(xiàn)整數(shù)與小數(shù)。在測量之前，我們不做規(guī)定，測量之后，學生各自寫一寫，讀一讀，寫完讀完再統(tǒng)一計量單位寫一寫、讀一讀。在動手完成操作的全過程中感知數(shù)量。如測得書桌長度為25厘米、2.5分米、0.25米之間有什么關(guān)系。感悟計量單位引起數(shù)位的變化，感悟整數(shù)到分數(shù)的拓展。理解因為單位不同對同樣的物體描述會不同，認識單位的重要性，也理解小數(shù)點位置的不同，數(shù)字意義的不同。這樣，對整數(shù)與小數(shù)以及二者關(guān)系的感悟就會通透而深刻。

在測量小書桌中感知小書桌為0.25米，引導學生推測教室有多寬。有學生可能會根據(jù)書桌橫排有8排估計出教室寬接近3米。再由教室估計校園的長和寬，以此類推，小學生從身邊的小數(shù)量推測大數(shù)量，建立數(shù)量關(guān)系的數(shù)感。

（三）在運算過程中建立數(shù)感

數(shù)學課程標準對運算能力這樣表述：“主要指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。”運算能力作為十大數(shù)學核心素養(yǎng)之一，與數(shù)感這一數(shù)學核心素養(yǎng)看似并列，實際上，運算的過程中對算理的理解也是數(shù)感建立的一條途徑。運算過程中，既要理解運算法則，如整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)加法中的同位相加法則，又要熟悉交換律、結(jié)合律、分配律等運算律。要理解這樣運算的原因，就要理解算理。在運算的過程中，應當引導學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律并總結(jié)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)算理，算理有助于合理簡潔地解決問題。

例3：14-8=□

這是20以內(nèi)退位減法運算。學生在學習了進位加法和不退位減法之后，再學習退位減法，雖然難度有所提高，但在學習這一板塊內(nèi)容時，從算理角度理解，尋找已經(jīng)學習的知識與需要學習的知識之間的聯(lián)系。而不是匆匆忙忙講怎么運算才是正確的。因為后者教給學生的是斷裂的知識，而前者教給學生的是數(shù)學思維，看似結(jié)果一樣，但是一個是短期的，一個是長久的，一個是暫時的，一個是終生的，孰優(yōu)孰劣，一目了然。所以，一個同樣的問題，因為解決方法不同，效果就會大不相同。在14-8的運算中，可以引導學生利用已經(jīng)學過的進位加法和不退位減法來解決，啟發(fā)學生對14-8這一算式進行變化，使它接近不退位減法和進位加法的形式。然后請學生把變化的算式寫一寫、讀一讀，看誰變化的算式更簡便。這里可能出現(xiàn)10+4-8，也可能出現(xiàn)14-4-4，還可能出現(xiàn)8+6-8，當然還有其他各種可能。在10+4-8這一變式中可引導學生認識14這個數(shù)中1在十位，所以表示為10，4在個位所以表示為4，學生對數(shù)位不同數(shù)字意義也不相同的數(shù)感得到加強。8+6-8這一變式看起來更簡便，但實際上，里面變化的思維比10+4-8要復雜一點：也可以從寫8+6-8變式中看出學生的思維更靈活。

例4：+=□

這個算式是異分母分數(shù)的加法，首先要通分，為什么分母相同才可以相加，原因是和分母不同而分數(shù)單位不同，是1個，是3個，只有通分后變成，是6個，+就轉(zhuǎn)變成+即1個和6個相加，結(jié)果是7個，即。通分之后分數(shù)單位相同，與整數(shù)加法的算理相同。教師在教學過程中應注意引導學生尋找規(guī)律，總結(jié)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)運算的算理，知其然并知其所以然，在運算中通過對算理的探究而加強數(shù)感。

（四）在估算中建立數(shù)感

新的數(shù)學課程標準對估算這樣表述：“選擇恰當?shù)膯挝贿M行簡單估計，體會估算在生活中的作用”，“在解決問題的過程中，能選擇合適的方法進行估算”。估算是解決數(shù)學問題的一種重要能力，如在進行除法運算中，試商就是一種估算。現(xiàn)實生活中也有許多地方需要估算。估算是數(shù)感建立的一條途徑。

例5：學校組織春游，成人往返車票每人22元，學生往返車票是成人的半價，我班有2名教師和51名，帶500元夠嗎？

這個案例，既可以通過運算求得車費的準確數(shù)，然后和500元比較。但估算不僅快速，也能得出相應的結(jié)果。可以把教師和學生都看作學生，計53人，票價10元左右，估算出530元左右，和500元相比，結(jié)果很清楚。這個案例中，估算能迅速準確地得出結(jié)論，而且得出的過程中反映出學生運用數(shù)學思維解決問題的能力。估算表面看起來是對結(jié)果的估計，其實質(zhì)是一種思維過程和思維方法的體現(xiàn)，在這里，計算出準確的結(jié)果所反映的只是學生的計算水平，而估算則能反映學生的思維水平。

常用的估算方法有近似估算法，像上面春游的例子。也有數(shù)位估算法，如判斷3=801，對不對？通過數(shù)位估算，240是3的80倍，而801則在百位上，可以判定3=801是錯誤的。還有對比估算法，比如例2中由測量書桌到估算教室寬，再到估算校園長和寬。通過多種方法的估算，學生的數(shù)感得以建立并不斷加強。

三、抽象思維形成過程化

數(shù)學家希爾伯特認為數(shù)學中有兩種傾向，一種是直觀的傾向，另一種是抽象的傾向。數(shù)學表達也在不斷向抽象化發(fā)展，由數(shù)量到數(shù)，出現(xiàn)數(shù)字，由數(shù)字到字母，再出現(xiàn)各種數(shù)學符號。這些數(shù)字、字母、符號的出現(xiàn)是數(shù)學不斷抽象化的發(fā)展。小學生的思維水平各年級段各有特點，但整體而言，小學階段仍以具體思維為主，并呈現(xiàn)逐漸向抽象思維發(fā)展的特點。所以，小學生抽象思維的發(fā)展必然伴隨著形象思維。小學生對數(shù)這一抽象概念的認識要在學習過程中不斷加深。

抽象、推理、模型是最基本的數(shù)學思想。在數(shù)學教學的全過程，教師應當把這一思想貫穿始終。

例6：

上面案例是在數(shù)的認識學習中的一個設計，左邊3只小老虎，中間3個黑點，右邊是數(shù)字3。這里不僅呈現(xiàn)出數(shù)量和數(shù)，而且呈現(xiàn)出從數(shù)量到數(shù)的轉(zhuǎn)化過程。3只小老虎是用數(shù)量對小老虎的表述，屬于形象思維，3個黑點，具有概括性，屬于半形象半抽象思維，數(shù)字3則是抽象思維的。這里關(guān)鍵一步是中間的3個黑點的設計，巧妙地呈現(xiàn)出數(shù)量3到數(shù)字3的轉(zhuǎn)化過程。這種設計易于學生理解和接受，也有效地實現(xiàn)形象到抽象的提升。正是呈現(xiàn)出抽象思維形成的過程，學生對數(shù)量和數(shù)的感悟得以建立和加強。

總之，小學生數(shù)感的建立要找到著力點，這樣，可以有效地完成數(shù)學課程標準中相應的教學目標，培養(yǎng)并發(fā)展學生的數(shù)學思維。