教學(xué)過程中如何挖掘“有用”的信息

程海霞

摘 要：本文針對(duì)教學(xué)過程中出現(xiàn)的某些復(fù)雜的問題，以極限的計(jì)算為例，探討了如何從冪級(jí)數(shù)理論中挖掘有效信息去解決相應(yīng)的實(shí)際問題.提高了學(xué)生對(duì)信息的篩選和利用的能力，拓寬了學(xué)生對(duì)關(guān)聯(lián)知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)知度和區(qū)分度。

關(guān)鍵詞：有效信息;區(qū)分度;認(rèn)知度

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，解決實(shí)際問題是教學(xué)目標(biāo)之一。然而在實(shí)際教學(xué)中會(huì)出現(xiàn)這樣的困惑：當(dāng)我們提出某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)時(shí)學(xué)生基本上都會(huì)，一旦將這個(gè)知識(shí)點(diǎn)與其相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)結(jié)合考察時(shí)學(xué)生就會(huì)犯糊涂。這就反映出學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中對(duì)知識(shí)點(diǎn)所折射出的信息掌握得不是很清晰，從而導(dǎo)致了在解決實(shí)際問題時(shí)對(duì)信息的利用產(chǎn)生了混亂，不能很好地解決問題.如果經(jīng)常出現(xiàn)這樣的情況，直接的危害是降低了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)這門學(xué)科的熱情，打擊了他們的自信心。針對(duì)這一問題，分析了根源在于學(xué)生對(duì)關(guān)聯(lián)知識(shí)點(diǎn)所反映出的信息的認(rèn)知、篩選和利用這三方面的能力有待提高。

一、問題的提出

遇到極限問題大體的思路是：首先考慮的是判別極限的類型是函數(shù)極限還是數(shù)列極限;其次研究的是如何正確計(jì)算出具體的結(jié)果或者判定其斂散性.在此認(rèn)知過程中極限的類型是很直接地判斷出，但在計(jì)算過程中很多同學(xué)拿起來就直接使用四則運(yùn)算、等價(jià)無窮小的代換、洛必達(dá)法則等等常規(guī)的方法。然而，隨著計(jì)算的推進(jìn)有時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)越來越復(fù)雜，這就意味著通常的辦法有時(shí)候顯得笨拙，甚至失效。這就需要我們尋求其他的辦法來解決。

二、對(duì)信息的認(rèn)知

俗話說“工欲善其事，必先利其器”，比喻要做好一件事，準(zhǔn)備工作要做好。引用這句話就是要求我們首先對(duì)冪級(jí)數(shù)理論中反應(yīng)出的信息有充分的認(rèn)識(shí)。我們的目的是從復(fù)雜的信息中挖掘出有效信息去解決極限問題。圍繞這一問題，要明確的是有效信息具體指的是哪些信息。做到這一點(diǎn)，首先要求我們對(duì)冪級(jí)數(shù)理論內(nèi)容有一定的了解或者掌握，其次在此基礎(chǔ)上挖出與目標(biāo)（極限）有關(guān)的信息。以冪級(jí)數(shù)為例，我們從級(jí)數(shù)理論中挖掘出如下常見的與極限有關(guān)的信息：

（1）在逼近理論中，滿足一定條件的初等函數(shù)能用冪級(jí)數(shù)來表示，即對(duì)于x0的某一領(lǐng)域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)f（x），則存在多項(xiàng)式pn（x）使得f（x）=pn（x）+Rn（x），其中Rn（x）為f（x）的余項(xiàng)，pn（x）=■■（x-x0）k，見文[1-2].由這個(gè)公式我們自然地得到兩方面的信息：一方面，對(duì)于x0的領(lǐng)域內(nèi)任意點(diǎn)x，則■Rn（x）=0.另一方面，當(dāng)階數(shù)n較小時(shí)，考慮用pn（x）+Rn（x）取代某些函數(shù)來計(jì)算極限，就是把極限中的某些不同類型的函數(shù)，通過計(jì)算轉(zhuǎn)換成同一類型的函數(shù)——pn（x）+Rn（x），再計(jì)算.

（2）由冪級(jí)數(shù)的斂散性知：對(duì)于給定的冪級(jí)數(shù)■anxn，由Abel定理易知其收斂區(qū)間，且在其收斂區(qū)間內(nèi)此級(jí)數(shù)收斂于某一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)f（x）.進(jìn)一步地，由f（x）的分析性質(zhì)易知：f（x）=■anxn=■（a1x1+a2x2+…+anxn）.由此，當(dāng)x取收斂區(qū)間內(nèi)某一點(diǎn)x0時(shí)，則有■（a1x1+a2x2+…+anxn）=f（x0）這一重要的信息.從而可以解決某些無窮項(xiàng)的和式極限.

（3）由級(jí)數(shù)的收斂條件知：收斂的級(jí)數(shù)其通項(xiàng)必收斂于0.從這收斂條件中我們也可以得到兩方面的信息：一方面，此條件對(duì)冪級(jí)數(shù)也成立.另一方面：考察某些數(shù)列的收斂性就只需要考察其對(duì)應(yīng)級(jí)數(shù)的收斂性.

三、信息的篩選和利用

對(duì)理論工具包含的信息有了一定的認(rèn)知后，如何篩選和利用這些信息關(guān)系到目標(biāo)是否能夠快速地實(shí)現(xiàn).例如求

根據(jù)上述挖掘出來的信息，要求出其值，過程如下：

（1）信息的篩選。本例是典型的■型結(jié)構(gòu)的函數(shù)極限，四則運(yùn)算失效;又因?yàn)槿呛瘮?shù)和指數(shù)函數(shù)是不同類型的初等函數(shù)且各自求導(dǎo)后其類型不變，故使用洛必達(dá)法則時(shí)計(jì)算量比較大.這就考察同學(xué)們能不能用更簡(jiǎn)潔的辦法來計(jì)算.由上述的信息1）知道將這兩類函數(shù)統(tǒng)一用冪級(jí)數(shù)展開后再計(jì)算就比較方便.又考慮到分母上冪函數(shù)的次數(shù)，顯然選取n=4時(shí)將所有的代數(shù)式統(tǒng)一起來.

（2）信息的利用

當(dāng)n=4時(shí)，由公式得： ? ? ? ?， ? ? ? .

因而求得 ? ? =

（3）小結(jié)。該例是用級(jí)數(shù)解決極限問題的一個(gè)典型的應(yīng)用.這種例題的特征是：代數(shù)式中含有幾種不同類型的函數(shù)，比如三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等等，且用等價(jià)無窮小或者洛比大法則不能簡(jiǎn)便計(jì)算時(shí)就可以考慮用信息1），也就是冪級(jí)數(shù)的展開來計(jì)算.這樣就歸結(jié)為公式化的問題了.從而提高了同學(xué)們對(duì)解決這類問題的過程中如何篩選和利用有效信息的能力.

綜上所述，在解決實(shí)際問題時(shí)我們要做到如下幾點(diǎn)：

1）仔細(xì)分析需要解決的問題中所包含的信息，且找出與之相關(guān)的信息;

2）從相關(guān)的信息中篩選和利用某些有效信息;

3）利用有效信息將問題公式化、簡(jiǎn)單化、程序化，從而將問題得以快速地解決.

在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中體會(huì)最深的就是將新的理論知識(shí)不斷地信息化、具體化，從這些看似雜亂無章的信息中挖掘出與其他知識(shí)點(diǎn)有關(guān)聯(lián)的信息，從而將這些信息串聯(lián)起來使其相互作用達(dá)到融會(huì)貫通，最終解決一些實(shí)際問題.這樣不僅提高學(xué)生對(duì)新知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)知和掌握，而且不斷地鞏固了其他的知識(shí)點(diǎn)，使得學(xué)生不再片面地看待問題.從而將在整體上提高了學(xué)生處理問題的綜合能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).當(dāng)然這過程也存在許多不足之處，希望在以后教與學(xué)的過程中不斷地改進(jìn).

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上、下冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]邵劍，李大侃.高等數(shù)學(xué)專題梳理與解讀[M].同濟(jì)大學(xué)出版社，2008：284-286.