論中考數學中一類典型的直線型軌跡問題

李寶娜　趙繼仙

【摘 要】動點軌跡問題是中考數學經常考查的重要知識點。文章以簡單的直線型動點軌跡為例，從簡單到復雜，總結出此類問題的特征，并給出此類問題的一般解題思路，最后以中考真題進行模擬演練，以幫助學生熟練掌握找動點軌跡的思路和方法。

【關鍵詞】中考數學;直線型軌跡問題;動點軌跡

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2022）24-0090-03

“種瓜得瓜，種豆得豆”經常用來形容種了什么因，就得到什么果。生活中有大量這樣的例子，如經常鍛煉的人會有好的身體、勤勞的人生活水平會提升。數學中也有這樣的例子，如圖1，直線l上任一點A與直線外一定點O相連，取OA中點B，當主動點A在直線l上運動時，從動點B運動產生的軌跡也是一條直線。這其實就是“種瓜得瓜，種豆得豆”的一種表現，因此可以稱之為“瓜豆原理”，常用來找從動點的軌跡[1]。

本文圍繞中考數學一類典型的直線型軌跡問題，從簡單到復雜，逐漸增加要素，引導學生探索動態變化過程中的變與不變，進而得出“直線型瓜豆原理”的一般結論。

1? ?解題思路探究

1.1? 基礎認知

解題前要明確一個事實：動點與某定點的連線和定直線的夾角固定不變時，動點的軌跡為直線。

1.2? “瓜豆原理”解題思路探索

本文例子的分析重點在于引導學生對此問題進行一般性探索，首先掌握探索的方法，其次才是結論的總結。

例1：如圖2，O為定點，點P是直線AB（圖中為線段，便于探索軌跡長度）上一動點，連接OP，點Q是OP上一點;當Q滿足為OP中點時，隨著點P在直線AB上運動，點Q的軌跡是什么？

分析：主動點P的運動導致從動點Q的運動，應采用從特殊位置開始分析，再聯系一般位置的方法進行探索。

第一步，找出主動點P的初始位置，畫出初始圖形，如圖3，圖中P0、Q0、OP0均固定。第二步，利用初始位置和任意位置，借助中位線（相似模型），證明動點位置軌跡關系。連接Q0Q，如圖3利用中位線得到Q0Q∥AB，依據Q0定點、AB定線，可以得出Q0Q位置固定（實際是過定點Q0，且與定線OQ0成固定夾角）。第三步，利用初始位置和終止位置，得到動點軌跡長度關系式。如圖4，圖中P1、Q1、OP1均固定，利用中位線得到Q0Q1∥AB且Q0Q1=AB。動點Q的軌跡為直線（上一部分），且Q的軌跡長度是P點軌跡長度的一半。

由于中點具有特殊性，為不失一般性，因此在OP上任取一點進行下一步的分析。

例2：如圖5，O為定點，點P是直線AB（圖中為線段，便于探索軌跡長度）上一動點，連接OP，點Q是OP上一點;當Q滿足OQ=OP時，隨著點P在直線AB上運動，點Q的軌跡是什么？

仿照例1的思路，完全類比操作。

第一步，找出主動點P的初始位置，畫出初始圖形。如圖6，圖中P0、Q0、OP0均固定。第二步，利用初始位置和任意位置，借助相似模型，證明動點位置軌跡關系。連接Q0Q，如圖6，利用，∠P0OP=∠Q0OQ，得到 ΔP0OP∽ ΔQ0OQ，則∠OAB=∠OQ0Q，依據Q0定點、可以得出Q0Q位置固定（實際是過定點Q0，且與定線OQ0成固定夾角）。第三步，利用初始位置和終止位置，得到動點軌跡長度關系式。如圖7，圖中P1、Q1、OP1均固定，利用 ΔP0OP1∽ ΔQ0OQ1得到Q0Q1∥AB且Q0Q1=AB。動點Q的軌跡為直線（上一部分），且Q的軌跡長度是P點軌跡長度的。

例1和例2中，都有位似的影子，并且可以看到整個探索過程大致分為三步：第一步，找起點，畫出初始圖形;第二步，利用初始圖形與任意中間位置組成相似模型，得出軌跡位置;第三步，找終止位置，利用初始位置和終止位置，求出軌跡長度。

下面進一步加入變化的因素，繼續探索。

例3：如圖8，O為定點，點P是直線AB（圖中為線段，便于探索軌跡長度）上一動點，連接OP，將線段OP繞點O順時針旋轉90°（可改為任意α），并放縮為原來的n倍，得到OQ，隨著點P在直線AB上運動，點Q的軌跡是什么？

第一步，找起點，畫出初始圖形。如圖9，實際是把OA繞點O順時針旋轉90°，放縮為原來的n倍，圖中OQ0、OP0均固定。第二步，利用初始圖形與任意中間位置組成相似模型，得出軌跡位置。連接Q0Q，如圖10，利用，∠P0OP=∠Q0OQ=90°-∠POQ0，得到△P0OP∽△Q0OQ，則∠OAB=∠OQ0Q，依據Q0定點，可以得出Q0Q位置固定（實際是過定點Q0，且與定線OQ0成固定夾角）。第三步，找終止位置，利用初始位置和終止位置，求出軌跡長度。如圖11，實際是把OB繞點O順時針旋轉90°，放縮為原來的n倍，圖中OP1、OQ1均固定，利用ΔP0OP∽ΔQ0OQ得到Q0Q1=nAB。并由圖12可以得到Q0Q1與AB所夾的角為90°（或α）。動點Q的軌跡為直線（上一部分），且Q的軌跡長度是P點軌跡長度的n倍。

由例3可以知道，即使加入旋轉放縮的因素，整個探索的過程也不會發生變化，雖然結論上發生了變化，但依舊可以得出以下結論：①軌跡相對位置不變;②軌跡長度與旋轉放縮的比例有關。

接下來以一個具體題目為例開展演練，進而總結題目滿足什么條件、結論具有什么特征。

例4：如圖13，在正方形ABCD中，AB=1，P是邊BC上的一個動點，由點B開始運動，運動到C停止。連接AP，以AP為直角邊向右側作等腰直角三角形，另一個頂點為Q。則點P從B運動到C的過程中，點Q的運動路徑長為__________。

該題依舊有動態的變化，因此仍采用“特殊聯系一般”的分析方法。第一步，找起點，畫出初始圖形。如圖14，點P的初始位置為B，此時以AP為直角邊作的等腰直角三角形即為△ABC。第二步，利用初始圖形與任意中間位置組成相似模型，得出軌跡位置。連接CQ，如圖15，利用，∠BAP=∠CAQ=45°-∠PAC，得到ΔBAP∽ΔCAQ，則∠ABP=∠ACQ=90°，由AC為定線，可知Q始終在固定直線上運動。第三步，找終止位置，利用初始位置和終止位置，求出軌跡長度。如圖16，點P的終止點為C，此時以AP為直角邊作的等腰直角三角形記為ΔACE，從圖形位置可以直接得點Q的軌跡為CE，長度為。

仿照前面4個例題，把點Q的運動（CE）與點P的運動（BC）聯系在一起。利用，

∠BAC=∠CAE=45°，得ΔBAC∽ΔCAE，得到，即得到動點Q的軌跡為直線（上一部分），且Q的軌跡長度是P點軌跡長度倍。

實際上，例4為例3的一種情況：主動點P在定線段BC上運動，連接AP后，將AP繞點A逆時針旋轉45°，并擴大為原來的倍，得到從動點Q，則點Q運動軌跡也為線段（且與點P軌跡夾角為45°），且點Q的軌跡長度是點P軌跡長度的倍。由此可見與題目是否描述為旋轉沒有關系。

1.3? “瓜豆原理”解題思路總結

通過前面例題的探索，可以得出一個關于“瓜豆原理”的結論：分析背景條件后，若主動點P、從動點Q與定點A連線的夾角為定值（可以看作旋轉角，記為α），且從動點Q、主動點P與定點A連線的比值為定值（不妨記），則從動點Q的軌跡與點P保持一致，即當點P在線段上運動時，可以得到如下結論：①點Q在線段上運動;②運動軌跡的夾角α，從動點軌跡長度與主動點軌跡長度的比值為定值k。

2? ?總結

動點軌跡問題是中考數學經常考查的重要知識點，同時也是學生縱向調用知識的難點，本文不斷添加變化的條件、提取特征、總結方法的整個過程是可以遷移的。

“瓜豆原理”既是結論，也是探索過程，尤其當中涉及化動為靜、動靜結合的操作原則以及“從特殊到一般”的探索方法，是初中學生在數學學習過程中務必要掌握的內容。

【參考文獻】

[1]何華軍.凸顯思維過程，提升解題能力——對一道直線型軌跡問題的探究[J].初中數學教與學，2020（11）.

【作者簡介】

李寶娜（1988～），女，漢族，河南安陽人，碩士研究生，助教。研究方向：應用數學。

趙繼仙（1991～），女，漢族，河南洛陽人，碩士研究生，助教。研究方向：思想政治教育。