處理圓錐曲線問題的幾個關鍵點

殷春生

[摘 要]要處理好圓錐曲線問題應把握好幾個關鍵點，即明確問題的類型、確定解題的方向、挖掘隱含的信息和明確解題的方法。把握好這幾個關鍵點，能有效解決圓錐曲線問題。

[關鍵詞]圓錐曲線;問題;關鍵點

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）11-0004-03

圓錐曲線問題是考查學生思維能力和計算能力的重要載體，在高考中常以壓軸題的形式出現。學生在解決此類問題時，常常因為方向不明確或思路不正確，致使解題有始無終。基于此，筆者提出處理此類問題需要把握的幾個關鍵點，并引例說明。

[例1]已知橢圓[C： x2a2+y22=1a>2]的離心率為[22]，左、右頂點分別為[A， B]，點[M]是橢圓[C]上異于[A， B]的一點，直線[AM]與[y]軸交于點[P]。

（1）若點[P]在橢圓[C]的內部，求直線[AM]的斜率的取值范圍;

（2）設橢圓[C]的右焦點為[F]，點[Q]在[y]軸上，且[AQ∥BM]，求證：[∠PFQ]為定值。

易求得橢圓方程為[x24+y22=1]，第（1）問較為基礎，解題過程略。下面對第（2）問的解題關鍵進行詳細說明。

一、解題方向要準確無誤

定點、定值和最值問題是歷年高考重點考查的題型。本題第（2）問要求證明[∠PFQ]為定值，有些學生認為這個角可能為特殊角，如[π6，π4，π3]等，想到利用正弦定理、余弦定理等解三角形的有關知識求解，進而要求[△PFQ]的其他邊或角。因[M]是動點，所以點[P]、[Q]的位置不確定，要表示[P]、[Q]的坐標需要引入變量，再利用兩點間距離公式求邊長，即使可以表示出來，但不容易消元，計算煩瑣。

[π6，π4，π3]雖然是我們熟悉的角，但是在圓錐曲線中這些角并不能稱為特殊角，要證某一角為定值，這個角除[π2]以外，別無他選。因此，欲證[∠PFQ]為定值，則一定有[kFP·kFQ=-1]或[FP·FQ=0]，進而明確了解題的方向。

類似地，判斷一個角是銳角、鈍角、直角時，均可采用此種方法。

二、方法選擇要心中有數

圓錐曲線問題的求解思路，總的來說有兩種：一是引入直線方程，設出交點坐標，將其與曲線方程聯立，代入消元，結合判別式得出根與系數的關系，結合題目條件列出關系式，再代入根與系數的關系進行求解;二是采用設點法求解，即設出動點坐標[（x0， y0）]，將其他相關點的坐標用[x0， y0]表示，再結合題目條件列出關于[x0， y0]的關系，最后將[x0， y0]代入曲線方程，據此進行消元處理。

本題中的動點是[M]，因[M]的變動，使得[P]、[Q]隨之變動，因此可采用設點法求解。具體解題過程如下：

設 [M（x0， y0）]，則[x204+y202=1]。

已知[A（-2， 0）]，所以直線[AM]的斜率為[y0x0+2]，故直線[AM]的方程為[y=y0x0+2（x+2）]，當[x=0]時，[y=2y0x0+2]，即點[P0， 2y0x0+2]。

直線[BM]的斜率為[y0x0-2]，因為[AQ∥BM]，所以直線[AQ]的斜率也是[y0x0-2]，直線[AQ]的方程為[y=y0x0-2（x+2）]，當[x=0]時，[y=2y0x0-2]，即點[Q0， 2y0x0-2]。

因為[F（2， 0）]，所以[FP=-2， 2y0x0+2]，[FQ=-2， 2y0x0-2]，[FP?FQ=-2， 2y0x0-2·-2， 2y0x0+2=2+4y20x20-4=2x20+4y20-8x20-4]。

又[x204+y202=1]，即[2x20+4y20-8=0]，

所以[FP·FQ=0]，即[∠PFQ=π2]，故[∠PFQ]為定值。

本題在求解點[Q]的坐標時，也可利用直線[BM]與[BQ]的對稱性，即先求出直線[BM]與[y]軸的交點的坐標，再利用點[Q]與該點的對稱關系得出點[Q]的坐標。

三、隱含信息要挖掘清楚

本題能不能采用設直線的斜率[k]的方法來求解？答案是肯定的。這需要對題目中隱含的信息進行挖掘。本題中所隱含的信息在教材習題中有所體現。

[例2]（人教版高中數學教材A版選擇性必修1練習）已知點[B（6， 0）]，[C（-6， 0）]，過點[B]的直線[l]和過點[C]的直線[m]相交于點[A]，設直線[l]的斜率為[k1]，直線[m]的斜率為[k2]，如果[k1·k2=-49]，求點[A]的軌跡方程，并說明此軌跡是何種曲線。

解：設[A（x， y）]， [x≠6]， 則[kAB=yx+6]， [kAC=yx-6]。

由[kAB·kAC=yx+6·yx-6=-49]，得[x236+y216=1]，

即點[A]的軌跡方程為[x236+y216=1x≠6]，此軌跡為橢圓。

此習題可推廣到一般的情況。

[例3]已知點[B（-a， 0）]，[C（a， 0）（a>0）]，過點[B]的直線[l]和過點[C]的直線[m]相交于點[A]，設直線[l]的斜率為[k1]，直線[m]的斜率為[k2]，如果[k1·k2=-b2a2]，求點[A]的軌跡方程，并說明此軌跡是何種曲線。

利用上述求解方法可得點[A]的軌跡方程為[x2a2+y2b2=1x≠a]。

對此結論進行逆向探究，可得出如下結論：

結論1 已知橢圓[C]：[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左、右頂點分別為[A]、[B]，[M]為橢圓上不同于[A]、[B]的一點，則直線[AM]、[BM]的斜率之積為定值[-b2a2]。

證明：已知[A（-a， 0）]，[B（a， 0）]，設[M（x0 ， y0）]，則[kMA=y0x0+a]，[kMB=y0x0-a]，所以[kMA·kMB=y20x20-a2]。

又因為[x20a2+y20b2=1]，所以[y20=b21-x20a2]，代入上式消元化簡得[kMA·kMB=-b2a2]。

而例1所給的條件，恰好符合這一結論，故可采用設直線斜率的方法求解。

例1的另外解法：設直線[MA]的斜率為[k]，則直線[MA]的方程為[y=k（x+2）]，令[x=0]，則[y=2k]，即點[P（0， 2k）]。

由上述結論探究知[kMA·kMB=-b2a2=-12]，所以直線[MB]的斜率為[-12k]，即直線[AQ]的斜率為[-12k]，所以直線[AQ]的方程為[y=-12k（x+2）]，當[x=0]時，[y=-1k]，所以[0，-1k]。

因為[F2， 0]，所以[FP=-2， 2k]，[FQ=-2，-1k]，[FP·FQ=-2， 2k·-2，-1k=0]。

因此[FP·FQ=0]，即[∠PFQ=π2]，為定值。

教材中的例題、習題都具有典型性，其中隱含著重要的知識、結論，包括解題的方法。因此，廣大教師在教學中要尊重教材，充分利用教材，并引導學生主動探究教材，充分發揮教材的最大作用。

四、結論探究要進行徹底

上述結論也可以推廣到更為一般的形式，即只要[A]、[B]兩點關于坐標原點對稱，此結論仍然成立。

結論2 已知橢圓[C]：[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，[A]、[B]是橢圓[C]上關于原點對稱的兩點，[M]為橢圓上與點[A]、[B]不重合的一點，若直線[AM]、[BM]的斜率存在且不為0，則直線[AM]、[BM]的斜率之積為定值[-b2a2]。

證明：設[A（m， n）]，[B（-m， n）]，[M（x0， y0）]，則[kMA=y0-nx0-m]，[kMB=y0+nx0+m]，所以[kMA·kMB=y20-n2x20-m2]。

又因為[x20a2+y20b2=1]，[m2a2+n2b2=1]，所以[y20=b21-x20a2]，[n2=b21-m2a2]，代入上式消元化簡得[kMA·kMB=-b2a2]。

[例4]如圖1所示，橢圓[C]：[x2a2+y2b2=1]經過點[1，32]，其離心率[e=12]。

（1）求橢圓[C]的方程;

（2）直線[l]過坐標原點[O]，且不與[x]，[y]軸重合，交橢圓[C]于點[P， Q]，過點[P]作[x]軸的垂線，垂足為點[D]，連接[QD]并延長交橢圓[C]于點[E]，試判斷直線[PE]和[l]的斜率乘積是否為定值。若為定值，請求出該定值，否則請說明理由。

解析：（1）[x24+y23=1]（過程略）;

（2）假設點[P（x1， y1）]，[E（x2， y2）]，則[Q（-x1，-y1）]，[D（x1， 0）]，且[y12=3-3x124]，[y22=3-3x224]，

[所以kPE·kQE=y2-y1x2-x1·y2+y1x2+x1=y22-y12x22-x12=3-34x22-3-34x12x22-x12=-34。]

又[kQE=kQD=y12x1]，故[kPE=-3x12y1]，[kPQ·kPE=y1x1-3x12y1=-32]。

即[PE]和直線[l]的斜率之積為定值[-32]。

本題中橢圓上的點[P]與點[Q]關于坐標原點對稱，所以直線[PE]與[QE]的斜率之積為定值。只要我們心中有這個結論，解題的方向也自然就明確了。

類似地，在雙曲線中也存在這一結論。

[例5]已知點[B（-a， 0）]，[C（a， 0）（a>0）]，過點[B]的直線[l]和過點[C]的直線[m]相交于點[A]，設直線[l]的斜率為[k1]，直線[m]的斜率為[k2]，如果[k1·k2=b2a2]，求點[A]的軌跡方程，并說明此軌跡是何種曲線。

不難得出點[A]的軌跡方程為[x2a2-y2b2=1x≠a]，軌跡為雙曲線。

結論3 已知雙曲線[C]：[x2a2-y2b2=1（a， b>0）]的左、右頂點為[A]、[B]，[M]為[C]上不同于[A]、[B]的一點，則直線[AM]、[BM]的斜率之積為定值[b2a2]。

證明：已知點[A（-a， 0）]，[B（a， 0）]，設點[M（x0， y0）]，則[kMA=y0x0+a]，[kMB=y0x0-a]，所以[kMA·kMB=y20x20-a2]。

又因為[x20a2-y20b2=1]，所以[y20=b2x20a2-1]，代入上式消元化簡得[kMA·kMB=b2a2]。

計算量大是圓錐曲線問題的重要特征，因此在解決圓錐曲線問題時除了要注意上述幾個關鍵點，還要做到準確計算。

總之，圓錐曲線問題雖然形式多變，方法靈活，但是只要我們能夠準確把握好關鍵點，就能以不變應萬變，順利、準確地解決問題。

（責任編輯 黃桂堅）