圓錐曲線壓軸題的處理策略

應莉

[摘 要]圓錐曲線是高中數學的核心內容之一，圓錐曲線問題在歷年高考中常以壓軸題的形式出現，注重考查考生的推理能力、化歸能力和運算能力。確定正確的解題方向、找到正確的解題方法是解決圓錐曲線問題的關鍵，因此，教師要引導學生做好關鍵條件的識別、審視以及題型的歸納和解題方法的總結。

[關鍵詞]圓錐曲線;壓軸題;策略

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）11-0001-03

本文以2020年新課標Ⅰ卷（山東）第22題為例，從解題方向的確定、解題方法的尋找和問題的拓展三個視角談談圓錐曲線壓軸題的處理策略。

[例1][2020年新課標Ⅰ卷（山東）第22題]已知橢圓[C：] [x2a2+y2b2=1]（[a>b>0]）的離心率為[22]，且過點[A（2 ， 1）]。

（1）求[C]的方程;

（2）點[M]，[N]在[C]上，且[AM⊥AN]，[AD⊥MN]，[D]為垂足。證明：存在定點[Q]，使得[DQ]為定值。

一、解題方向的確定

確定正確的解題方向是成功解題的關鍵。解題是從審題開始的，那么審題要審什么呢？總的來說，要審條件、審結論、找關聯。本題的主要條件是[M]，[N]是橢圓[C]上兩點，[A]為已知點，可將問題轉化為一條直線與橢圓[C]交于[M]、[N]兩點，且[AM⊥AN]。由[AM⊥AN，]可得直線[AM]和[AN]的斜率之積為-1。

橢圓有下面的性質：

[M]，[N]是橢圓[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]上關于原點對稱的兩個點，[P]為橢圓[C]上不與[M]、[N]重合的點，若[MP]，[NP]的斜率存在且不為零，則[kMP?kNP=-b2a2]。

證明： 令[P（x0， y0）]，[M（x1， y1）]，[N（-x1，-y1）]，則[kMP=y1-y0x1-x0]，[kNP=y1+y0x1+x0]，所以[kMP·kNP=y21-y20x21-x20]，又[y21=b21-x21a2]，[y20=b21-x20a2]，所以[kMP?kNP=y21-y20x21-x20=b2x20a2-x21a2x21-x20=-b2a2]。

由該性質不難得出如下推論：

直線[l]與橢圓[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]交于[M]，[N]兩點，[P]為橢圓[C]上不與[M]、[N]重合的點，若[kMP?kNP=-b2a2]，則直線[l]過坐標原點。

證明方法同上，省略。

上述性質和推論中兩條直線的斜率之積為定值[-b2a2]，可得直線過定點，即坐標原點。若斜率之積為定值，但這個定值不是[-b2a2]，那么直線是否過定點呢？如果直線過某一定點，對本題的求解是否有幫助？

如圖1所示，若直線[MN]過定點，設該點為[E]，因為[A]為已知點，所以[AE]為定值，而[AD⊥MN]，所以△[ADE]為直角三角形，或所求的點[Q]為[AE]的中點，則[DQ=12AE]，為定值，進而問題得解。

從上述分析來看，解題方向并不是盲目確定的，而是與我們熟悉的內容建立關聯。通過研究不難發現，很多高考題都是以我們熟悉的知識為背景，只要我們明確這些背景，解題方向的確定也就水到渠成了。

二、解題方法的尋找

以直線與圓錐曲線相交為背景的考題，常規解法是先引入直線方程，將其與橢圓方程聯立，再利用坐標法、消元法、判別式及根與系數的關系等，結合所給的條件建立關聯進行求解。

解法1：

（1）求得[C]的方程為[x26+y23=1]。

（2）當直線[MN]的斜率存在時，設其方程為[y=kx+m]，聯立[x26+y23=1，y=kx+m，]

代入消元可得[（1+2k2）x2+4kmx+2m2-6=0]。

設[M（x1， y1）]，[N（x2， y2）]，由韋達定理得

[x1+x2=-4km1+2k2]，[x1x2=2m2-61+2k2]，

由[AM?AN=0]，且[AM=（x1-2， y1-1）]，[AN=（x2-2， y2-1）]，可得[（x1-2）（x2-2）+（y1-1）（y2-1）=0]。又[y1=kx1+m]，[y2=kx2+m]，所以[（1+k2）x1x2+（km-k-2）（x1+x2）+（m-1）2+4=0]，于是有[（1+k2）2m2-61+2k2-（km-k-2）4km1+2k2+（m-1）2+4=0]，整理得[（2k+3m+1）（2k+m-1）=0]。

因為[A（2， 1）]不在直線[MN]上，所以[2k+m-1≠0]，即[2k+3m+1=0]，[k≠1]，所以直線[MN]的方程為[y=kx-23-13（k≠1）]，過定點[E23，-13]。

若直線[MN]的斜率不存在，設[M（x1， y1）]，則[N（x1 ，-y1）]，由[AM?AN=0]得[（x1-2）（x2-2）+（y1-1）（y2-1）=0]，又[x216+y213=1]，所以[3x21-8x1+4=0]，解得[x1=2]（不符合條件，舍去），所以[x1=23]，此時直線[MN]過點[E23，-13]，所以[AE=2-232+1+132=423]。

設[AE]的中點為[Q]，則[Q43，13]，所以在Rt[△ADE]中，[QD=12AE=223]為定值，故存在點[Q43，13]使得[DQ]為定值。

另外，對于以直線斜率關系為背景的問題，可通過構造斜率的齊次式來處理。

解法2：

（1）求得[C]的方程為[x26+y23=1]。

（2）設[x-2=s]，[y-1=t]，則[x=s+2]，[y=t+1]。

設[M（x1， y1）]，[N（x1， y2）]，則[kAM?kAN=y1-1x1-2?y2-1x2-2=t1s1?t2s2=k1?k2=-1]。

設直線[MN]的方程為[ms+nt=1]，橢圓方程為[（s+2）2+2（t+1）2=6?s2+4s+2t2+4t=0]，即[s2+4s（ms+nt）+2t2+4t（ms+nt）=0]，整理得[（4n+2）t2+4（m+n）st+（4m+1）s2=0]，所以[（4n+2）ts2+4（m+n）ts+（4m+1）=0]，即[（4n+2）k2+4（m+n）k+（4m+1）=0 ]，故[k1?k2=4m+14n+2=-1?-34m+-34n=1]，直線[MN]（[ms+nt=1]）過點[-43，-43]，所以直線[MN]過點[E23，-13]，[AE]=[2-232+1+132=423]。

在Rt[△ADE]中，設[AE]的中點為[Q]，則[Q43，13]，此時[QD=12AE=122-232+1+132=223]為定值，所以存在點[Q43， 13]使得[DQ]為定值。

本題是由斜率之積為定值（該定值為-1）引發的定點問題，事實上斜率之積為定值（不一定為-1）也能引發定點問題。解法2采用了“齊次化”的方式，大大地簡化了運算。

三、問題的拓展

類似的問題還有很多，我們可將斜率之積為定值變換為斜率之和為定值。另外，也可以將曲線類型變換為雙曲線或拋物線進行探究，從而拓展視角。

[例2]已知橢圓[C]：[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，四點[P1（1，1）]，[P2（0 ， 1）]，[P3-1，32]，[P4-1，32]中恰有三點在橢圓C上。

（1）求橢圓C的方程;

（2）設直線l不經過點[P2]且與橢圓[C]相交于A、B兩點，若直線[P2A]與直線[P2B]的斜率和為-1，證明：直線[l]恒過定點。

解析：

（1）因為[P3]，[P4]兩點關于[y]軸對稱，所以由題設知橢圓[C]經過[P3]，[P4]兩點。

又由[1a2+1b2>1a2+34b2]可知，橢圓[C]不經過點[P1]，所以點[P2]在橢圓[C]上。

因此[1b2=1，1a2+34b2=1，]解得[a2=4，b2=1，]故橢圓[C]的方程為[x24+y2=1]。

（2）方法1：設直線[P2A]與直線[P2B]的斜率分別為[k1]，[k2]，如果直線[l]與[x]軸垂直，設直線[l]：[x=t]，由題設知[t≠0]，且[t<2]，可得[A]，[B]的坐標分別為[t，4-t22]，[t ，-4-t22]。

則[k1+k2=4-t2-22t-4-t2+22t=-1]，得[t=2]，不符合題設。

從而可設直線[l]：[y=kx+m]（[m≠1]），將[y=kx+m]代入[x24+y2=1]得[4k2+1x2+8kmx+4m2-4=0]，根據已知條件可得判別式[Δ=164k2-m2+1>0]。

令[A（x1， y1）]，[B（x2， y2）]，則[x1+x2=-8km4k2+1]，[x1x2=4m2-44k2+1]。

又[k1+k2=y1-1x1+y2-1x2=kx1+m-1x1+kx2+m-1x2=2kx1x2+m-1（x1+x2）x1x2]。

已知[k1+k2=-1]，所以[2k+1x1x2+m-1（x1+x2）=0]，進而可得[2k+1·4m2-44k2+1+m-1·-8km4k2+1=0]，故[k=-m+12]。

當且僅當[m>-1]時，[Δ>0]，欲使[y=-m+12x+m]，即[y+1=-m+12x-2]，所以直線[l]過定點（2，[-1]）。

方法2：[P2（0， 1）]，設直線[l]的方程為[mx+n（y-1）=1]，設[y'=y-1]，則[y=y'+1]，設直線[l]的方程為[mx+ny'=1]，

[x2+4（y'+1）2=4?x2+4y'2+8y'（mx+ny'）=0?（8n+4）y'2+8mxy'+x2=0]，即[（8n+4）k2+8mk+1=0]，

所以[k1+k2=-8m8n+4=-1?m=n+12]。

設直線[l]的方程為

[n+12x+n（y-1）=1?（x+y-1）n+12x=1]，令[x+y-1=0，12x=1?x=2，y=-1，]所以直線[l]過點[（2 ，-1）]。

[例3]已知拋物線[C]：[y2=2x]和點[P（2， 2）]，[A]、[B]是[C]上異于點[P]的兩點，直線[PA]、[PB]的斜率分別為[kPA]，[kPB]，且滿足[kPA?kPB=2]，則直線[AB]過定點（ ）。

A. [-2，32] ? B. [2，-32]

C. [32，-2] D. [-32， 2]

解析：令[Aa22， a]，[Bb22， b]，則直線[AB]的方程為：[y-ab-a=x-12a2b22-a22]，化簡得[y=2b+ax+abb+a]。

又[kPA?kPB=2]，所以[a-2a22-2?b-2b2-22=2]，即[1a+2?1b+2=1]，所以[ab=-2（a+b）-3]，代入[y=2b+ax+abb+a]，得[y=2a+bx+-2（a+b）-3a+b=2a+bx-32-2]，故直線[AB]過定點[32，-2]。正確選項為C。

[例4]已知拋物線[C]：[y2=2x]和點[P（2， 2）]，[A]、[B]是[C]上異于點[P]的兩點，直線[PA]、[PB]的斜率[kPA]，[kPB]滿足[kPA+kPB=0]，則直線[AB]的斜率為（ ）。

A. [12] B. [-12] C. 1 D.不確定

解析：? 設[Aa22， a]，[Bb22， b]，則直線[AB]的方程為[y-ab-a=x-12a2b22-a22]，整理得[y=2b+ax+abb+a]。

已知[kPA+kPB=0]，故[kPA=-kPB]，[a-2a22-2=-b-2b2-22]，所以[1a+2=-1b+2]，即[a+2=-（b+2）]，[a+b=-4]，故[kAB=2a+b=-12]。正確選項為B。

圓錐曲線問題雖然常考常新，但萬變不離其宗，只要把握題目條件特征，化陌生為熟悉，即可明確解題的方向，確定解題的方法。將問題的曲線類型進行拓展，構建知識網絡，可有效拓展學生的解題思路，提升學生分析問題和解決問題的能力。

（責任編輯 黃桂堅）