幾個重要定積分等式的推廣及應用

【摘 要】定積分的計算是高等數學教學中的重點內容，計算問題往往靈活多變，需要學生掌握一定的方法和技巧，因此一些重要結論在定積分計算中至關重要。文章結合教學實際，給出了四個重要結論的證明及應用實例。

【關鍵詞】定積分;等式;證明

【中圖分類號】O13;G642? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2022）24-0009-04

定積分是微積分的重要組成部分，它的計算也是高等數學教學環節中較為重要的內容，基本計算方法有直接積分法、換元法和分部積分法。但有些題目往往難度較大，只掌握基本方法還不夠，還需要掌握一些重要結論，這些重要結論在解決某類積分問題時有著不容小覷的作用。

1? ?重要等式及證明

結論1：設函數f （x）在[-a，a]上連續，則。特別地，若f （x）為偶函數，則;若f （x）為奇函數，則。

進一步，若f （x）為偶函數，則;若f （x）為奇函數，則。

結論1是關于對稱區間的定積分的重要結論，這個結論幾乎在所有高等數學教材中都有介紹，所以很多學生并不陌生，基本上都能熟練掌握這個結論的應用[1]。利用結論1的證明思路及方法，將結論進一步推廣就可以得到如下結論。

結論2：設函數f （x），g （x）在[-a，a]上連續，f （x）滿足f （x）+f （-x）=A且g （x）為偶函數，則。

證明：先利用定積分區間可加性將積分拆成兩個積分。

對稱區間的定積分是一類特殊積分，其特點就是定積分的積分區間形式必須為對稱區間，然而平時研究的很多定積分并不具備這樣的特殊性，那有沒有相應結論可用呢？如果將結論1的對稱思想進一步推廣，利用區間對稱中點進行推導，便可以得出如下的任意積分區間的重要積分公式。

在上述證明過程中，若對第一個積分進行換元，則很容易能證明（2）式，進而可以推出

以上各結論均是利用換元法進行推導證明的，采用同樣的思想方法，可以得出下面關于三角函數的定積分重要結論[3]。

2? ?等式的應用舉例

詳細證明以上四個關于定積分的重要結論后，接下來就探究一下這四個結論在計算定積分問題時是如何將復雜問題簡單化的。

解：此題可采用結論2進行求解，關鍵需要確定兩個函數的形式，故令f （x）=arctanex，g （x）=，，顯然函數g （x）為偶函數，同時可以證明y=f （x）+f （-x）=arctanex+arctane-x=。

一般情況下，需要注意的是，在使用結論3計算定積分問題時，當被積函數f （x）轉為f （x）+f （a+b-x）時，后者的對應積分要容易計算才可行。

綜上，本文給出了定積分中四個重要結論及應用實例，通過實例分析，可以發現這些結論使得某些類型的定積分的求解變得更加容易，達到了將復雜問題簡單化的目的，大大提高了解題效率。在學習微積分時，要善于發現和總結，知識的積累往往都是循序漸進的，溫故而知新是應有的學習態度[6]。尤其是在數學這門學科中，解決同一問題的方法可能很多，然而在諸多的方法中還是存在一些“捷徑”，但這些“捷徑”往往是在實際解題過程中偶然發現的，這就需要及時地記錄與總結，這樣在遇到類似問題時，思路才會多樣化，進而輕松地解決問題。

【參考文獻】

[1]吳贛昌.微積分（上冊）[M].北京：中國人民大學出版社，2009.

[2]楊慧卿.經濟數學微積分（微課版）[M].北京：人民郵電出版社，2017.

[3]張天德，王瑋.高等數學（上冊）[M].北京：人民出版社，2020.

[4]陳仲.高等數學競賽題解析教程[M].南京：東南大學出版社，2016.

[5]同濟大學數學系.碩士研究生入學考試數學復習與解題指南[M].上海：同濟大學出版社，2017.

[6]莊科俊，徐鳳.積分等式在定積分計算中的應用[J].衡水學院學報，2012（4）.

Generalization and Application of Several Important Definite Integral Equations*

Qingjuan Li

（Public Teaching Department of Dalian University of Finance and Economics， Dalian， Liaoning， 116622）

Abstract：The calculation of the definite integral is the key content in the higher mathematics teaching. Calculation problems are often flexible， which requires students to master certain methods and skills. Therefore， some important conclusions are very important in the calculation of the definite integral. Combined with the teaching practice， this paper gives the proof and application examples of four important conclusions.

Keywords：definite integral; equation; proof

【作者簡介】

李慶娟（1980～），女，漢族，吉林榆樹人，碩士，教授。研究方向：大學數學教學與研究。

*基金項目：本文系遼寧省普通高等教育本科教學改革研究項目（遼教辦（2021）254號）：應用型人才培養模式下數學課程教考分離的研究。