凸顯知識本質 促進深度學習

汪元貴

[摘 要]“認識方程”是代數學習的起始課，是學生認知的一次質的飛躍。“認識方程”的教學對豐富學生解決問題的策略，突破學生算術思維方法中的某些局限性，提高學生解決問題的能力，發展學生數學素養有著非常重要的意義。

[關鍵詞]認識方程;深度學習;本質

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2022）14-0067-03

【教學內容】蘇教版教材五年級下冊“認識方程”。

【教學目標】

1.讓學生結合具體情境了解方程的含義，初步體會等式與方程的關系。

2.讓學生在觀察、分析、抽象、概括和交流的過程中，經歷將現實問題抽象成等式或方程的過程，積累現實問題數學化的經驗，感受方程的思想方法和價值，發展抽象思維能力和符號意識。

3.讓學生在參與數學活動的過程中，養成獨立思考、與人合作、自覺檢查等習慣，樹立學好數學的信心，增強對數學學習的興趣。

【教學重點】了解方程的意義，會用方程表示簡單情境中的等量關系。

【教學難點】感受方程思想方法和價值，將現實問題抽象成等式或方程，將等量關系符號化。

【教學過程】

一、創設情境，引入方程

師：今天我們來學習“認識方程”。看到“方程”二字，你最想弄明白哪些知識呢？

生： 什么是方程？怎樣列方程？方程有什么用？方程從哪來？

（學生提出問題后由教師梳理并板書）

師： 這些問題反映了你們對方程的思考，帶著這些問題讓我們一起走進方程。

二、自主探究，學習方程

師（拿出天平）：數學學習有時候需要借助一些工具，比如這節課我們就要借助一個工具來幫助我們理解方程，它是什么？

生1：天平。

師：誰能結合自己的生活經驗來介紹一下天平？

生2：天平是測量質量的工具。它的結構很簡單，主要由兩個托盤、一個橫梁、底座和支架組成。它是利用砝碼的質量來稱量物體的質量。它很公平，稍有偏差就會向一邊傾斜。

生3：生2說得對，當天平兩邊的物體質量相等時，天平就會平衡;如果不相等，天平就會傾斜。

師：這兩位同學都提到了天平很公平，當天平兩邊物體質量相等時，天平就會平衡;當兩邊物體質量不等時，天平就不平衡。

師：如果在這個天平的左右兩邊各放上一些物體，如圖1所示，你能說說它所表達的意思嗎？

師：我用三句話來表達。左邊是50g雞蛋和50 g砝碼，右邊是100 g砝碼;天平平衡了，左邊和右邊質量相等;可以用等式50+50=100來表示。

師（板書算式50+50=100）：這里的“=”是什么意思呢？

生4：表示左邊和右邊的質量相等。

師：我們以前也遇到過很多這樣的式子，比如2+3=5，5+50=55，這兩個式子中的 “=”的意思和50+50=100中的一樣嗎？

生5：不一樣，前兩個式子中的“=”表示一種運算的結果，50+50=100中的“=”則表示左邊和右邊質量相等的關系，是量與量之間關系的一種表達方式，這里的100是天平右邊的數，而不是計算出來的。

師：我們又進一步認識了 “=”的含義，它不僅可以表示一種運算結果，還可以表示左右兩邊相等的關系。請大家好好體會一下此處 “=”的作用。

師：你可以模仿老師的三句話表達方式說一說這時候的天平狀態嗎？

（同桌互說，展示交流，重點體會“=”的作用。）

師（出示圖2）：大家看圖完成小組內交流，具體要求為“組長分工，一人一圖;用三句話結構來表達;用一個式子表示天平兩邊物體質量的大小;匯報交流前必須對前一個小組的觀點進行評價”。

（學生用三句話表述四幅圖，并在黑板上列出式子。）

師：大家都能用式子來表示天平的狀態，真不簡單！觀察這些式子，你能給它們分類嗎？

生6：x+50>100和x+50<200是一類，它們的左邊都是一個不確定的數，因為天平不平衡，都不能用“=”連接。x+50=100和2x=200是一類，它們左右兩邊都是能夠確定的數，根據x+50=100，可以知道x=50，根據2x=200，可以知道x=100，所以這兩個式子是一類。

師：生6不僅分類正確，而且還給出了充足的理由，真棒！

師：大家在說圖時寫出來的式子與以往學過的式子相比有些不一樣，今天同學們寫出來的式子中，左邊都有一個不知道的數，用字母x代替，當然，也可以用其他字母來代替。這個不知道的數可以通過右邊的已知數來求解。這樣的式子在數學上有個特定的名字——方程，即像這樣含有未知數的等式叫作方程。

師：在方程的定義中，你認為哪些字眼比較重要？

生7：未知數、等式。

師：觀察這些方程的式子，它們有什么共同的特點呢？

生8：左邊都有未知數，但是根據右邊確定的數都能算出這個未知數的值。

師：其實方程就是把未知數和已知數通過一種等量關系連接起來所寫成的式子。

師（出示圖4）：現在我想請兩位同學一個圈等式，一個圈方程。

師：觀察他們圈的圈，你發現了什么？

生9：“方程”小圈被“等式”大圈包圍。

生10：方程和等式都有“=”，這是它們的共同點。

生11：方程和等式既有相同的地方，又有獨特的地方，比如方程的左邊都有未知數，同時也是等式。

師：你能用一句話說明方程與等式之間的關系嗎？

生12：方程都是等式，但等式不一定是方程。

師：如果有這樣兩個圈，請把“方程”和“等式”這兩個板貼貼到相應的圈子里，并說說你的想法。

三、聯系實際，理解方程

師：對于方程，其實我們早就學過了，只不過沒有正式去研究，如之前學過這樣的式子“3÷△=10，□×6=48，240÷○=8”。

師：你能把每個算式中用圖形表示的未知數改用字母表示嗎？

師：通過探究，相信大家對方程有了進一步的認識。下面的式子中哪些是方程？哪些不是方程？為什么？

（1）6+x =14 ? ? ? ?（2）36-7=29 ? ? ? （3）60+23>70

（4）x +4<14 ? ? ? ?（5） 5y=40 ? ? ? ? ?（6） 8+x

（7）6x+★=89 ? ? （8）36+★=78

師（隨機抽取其中兩題說明判斷方法）：第（8）小題可能是方程，也可能不是方程，這取決于星星的內容。）

師（出示圖6）：你會用方程表示圖中的數量關系嗎？

師：不同的等量關系對應不同的方程，但是，必須關注形如480÷3=x，988+122=x以及7.3-6.4=x的式子。

師：學習的至高境界不是學會，而是對學會的內容能加以創編，做到舉一反三。請根據以下兩個方程，結合生活實際，各編一個小故事，和同學分享。（1）y+19=42;（2）z-13+15=37。

（該題供學有余力的學生完成）

四、數學史話：你知道嗎？

師：什么是方程，怎樣列方程，大家都非常清楚了。那么方程有什么用呢？這需要我們慢慢去體會。而方程是從哪來的呢？讓我們一起來了解。

（播放錄音：早在三千六百多年前，埃及人就會用方程解決數學問題了。在我國的《九章算術》中記載了用一組方程解決實際問題的史料。三百年前，法國數學家笛卡爾第一個提倡用x、y、z等字母代表未知數，形成現在的方程定義。 ）

【教學反思】

在“認識方程”的教學過程中，引導學生觀察天平，動手操作天平，在師生交流、生生交流等思維碰撞中，促進學生主動建構方程模型。大多數教學都止于方程的外部形式，學生只知道“含有未知數的等式叫作方程”，對“方程表示未知數與已知數之間的一種等量關系” 的本質還缺乏一定的認識。對于本節課的教學筆者有以下兩點心得，與大家共勉。

一、借直觀，構模型

“方程”是刻畫現實世界數量關系的數學模型，因此教師應該從數學建模的角度開展教學。對小學生來說，從具體事物的數量抽象出數是認識上的一次飛躍;由具體的、確定的數過渡到用字母表示未知的、可變的數，是認識上的又一次飛躍。而從列算式解決實際問題發展到列方程解決實際問題，則是思維方式的重要轉折。這種轉折不僅有利于培養學生思維的多樣性和靈活性，而且將使學生應用數學知識解決實際問題的能力提高到一個新的高度。借助天平這一形象，結合天平原理探尋左邊物體的質量，由此引導學生用數學算式表征天平兩邊物體的質量關系。學生通過觀察、分析，寫出合理的等式，從中發現方程的外部特征——含有未知數的等式，進而抽象出方程的模型。

二、借操作，悟本質

操作是數學活動的重要組成部分，也是學生學習數學的重要方式。心理學家皮亞杰曾經說過：“兒童的思維是從動作開始的，切斷動作和思維的聯系，思維就得不到發展。”由此可見動手操作的重要性非同一般。學生在動手操作天平的過程中變動手操作為動腦操作，并能用語言描述情境中的等量關系，從而更加深刻地領悟方程的本質。落實到行動上，學生先由具體數字的等量關系發展到用字母表示等量關系，再抽象出用符號表示等量關系，方程的本質得以凸顯，即方程是在未知數和已知數之間建立起來的等量關系。這是張奠宙先生給出的方程新定義。這個定義較之前的方程定義“含有未知數的等式叫作方程”更加能夠體現方程的本質內涵。通過等量關系，把未知與已知聯系起來，從而找到所要求的未知數，方程的核心價值得以顯現。

（責編 羅 艷）