做數學：促進深度理解的方式變革

謝海英

[摘? 要] “做數學”讓學生的數學學習從被動接受轉向主動建構。“做數學”是促進學生深度理解的一種方式變革。“做數學”以“做”為根基，注重引導學生感受體驗;“做數學”以“思”為核心，注重引導學生感悟反思;“做數學”以“融”為目的，注重引導學生積淀內化。在“做數學”的過程中，“做”是關鍵，“思”是核心，“融”是目的。“做思共生”“學創一體”是“做數學”的最高境界。

[關鍵詞] 做數學;深度理解;方式變革

數學教學倡導學生“動手做”，“動手做”不是機械地、盲目地操作，而是要融入學生的思維和想象。因此，“做數學”就其本質而言，就是學生的一種“具身認知”活動。在“做數學”過程中，教師要堅持問題導向，引導學生發現問題、提出問題，從而讓“做”具有針對性、實效性，同時，還要引導學生大膽猜想，并用適當的方式展開驗證。在“做數學”的過程中，“做”是關鍵，“思”是核心，“融”是目的。“做數學”是促進學生深度理解的一種方式變革。“做思共生”“學創一體”是“做數學”的最高境界。

一、以“做”為根基，注重引導學生感受體驗

“做數學”的本質是讓學生的感覺器官與數學學習對象親密接觸。傳統的數學教學，往往是“紙筆”教學。這樣的“紙筆”教學，重認知、輕實踐，重理性、輕感性，學生的數學學習也窄化、異化為一種邏輯的運演。“做數學”，面向學生的認識對象本身。通過“做數學”，對壓縮形態的數學進行解壓縮，從而讓數學知識恢復到其產生時的鮮活形態。這種形態也就是人類最初探索數學知識的形態。

因此，“做數學”突出“做”是說、視、做、用等的知覺特征和行為特征，往往用感受、體驗、領悟等動詞來刻畫知覺目標和行為目標。“做數學”的類型非常豐富，比如“收集信息”“現場觀察”“數學實驗”“數學游戲”“數學操作”“數學制作”等。“做數學”充分體現了“智者明法，慧者通道”的數學學習原理、秩序，因此，“做數學”是學生理解性學習的基本方式。何謂“明法”，也就是說，學生的“做數學”要“合規律性”;所謂“通道”，是指學生的“做數學”要“合目的性”。比如教學“長方體和正方體的認識”（蘇教版六年級上冊）這部分內容時，教師通常會讓學生帶一些長方體狀的物體。更有教師給學生提供現成的長方體狀的物體，引導學生從面、棱、頂點等角度來認識長方體。這樣的教學，僅僅讓學生的認知停留在視覺層面。筆者在教學中給學生提供了豐富的結構性、半結構性、劣構性的素材，讓學生動手做一個長方體。學生首先選擇小棒搭建長方體框架;其次要選擇相應的面，將長方體框架用紙糊起來。在“做數學”的過程中，學生不僅僅要“動眼觀察”，更要“動手操作”“動腦思考”“動嘴表達”。學生的“做數學”活動成為實實在在的具身性認知活動，這樣的活動能讓學生的數學學習真正發生。

“做”是學生數學學習的根基，學生的智慧在指尖流淌。瑞士著名教育心理學家皮亞杰認為，兒童的思維是從動作開始的，切斷動作和思維的聯系，思維就不能得到發展。在學生“做數學”的過程中，教師要注意“變量的控制”“實證的檢驗”“過程的監控”“結論的梳理”等，從而讓“做”能實實在在地積累學生的數學基本活動經驗，能讓學生感悟到數學基本思想方法。

二、以“思”為核心，注重引導學生感悟反思

如上所述，“做數學”不是機械地做，而是融通了學生的思維和想象。“做數學”要以學生的“思”為核心，注重引導學生感悟反思。從某種意義上說，學生的數學學習就是“面向思的事情”（海德格爾語）。作為教師，要引導學生“運思”，讓學生做到思之有向、思之有序、思之有理。“做”為學生的“思”提供了外援幫助，“思”為學生的“做”提供了內源支撐。

在“做數學”的過程中，教師要引導學生大膽猜測、小心求證。從某種意義上說，“做”既是一種積極的嘗試，又是一種積極的創造。“思”能為學生的“做”指明方向，從而減少學生“做”的失誤和差錯，能有效提升學生“做”的品質。比如教學“圓柱的側面積”（蘇教版六年級下冊）這一部分內容時，筆者引導學生分小組操作：一個小組將圓柱的側面商標紙“剪”（撕）下來，另一個小組則將一個長方形或平行四邊形紙“卷”成圓柱。通過這樣的一“剪”（撕）、一“卷”兩個操作，催生學生產生“比較圓柱的側面積與平行四邊形或長方形的底、高、面積等之間的關系。在“卷”的過程中，學生發現，同樣一張紙還可以“卷”成兩種“不同形態”的圓柱。由此，激發學生的數學化思考：同一張紙“卷”成的圓柱，它們的側面積相等嗎？它們的表面積相等嗎？它們的體積相等嗎？這樣的連續發問，已經超越了學生的已有認知，同樣也超越了學生的當下認知，其將思維觸角延伸、拓展到了未知的領域。這樣的一種發問，為學生后續學習“圓柱的體積”打下堅實的基礎。在“做數學”的過程中，學生的數學化思考通常有兩個層次，一是現象性思維，即“所學即所看”“所學即所聽”;二是本質性、關系性思維，即“所學即所思”“所學即所想”“所學即所探”。其中，第一層思維是一種低階認知、低階思維，而第二層思維則是一種高階認知、高階思維。“做數學”，就是要將學生的思維、認知從低階引向高階，從而實現學生數學學習的自我跨越，實現學生數學學習的自我躍遷。

以“思”為核心，要求教師找準學生數學知、行的契合點，溝通學生的數學思維與行動和數學實踐與理論。在學生“做數學”的過程中，教師要引導學生對事實進行歸納、對結論進行推導、對規律進行發現、對概念進行抽象等。真正的“做數學”應當是學生“做”與“思”的交互統一。在“做數學”的過程中，學生要做到“做思共生”“做思互補”“做思和諧”“做思圓融”。

三、以“融”為目的，注重引導學生積淀內化

“做數學”的課堂教學要強化學生做與思的融合，強化學生數學活動經驗的積淀與數學思想方法的感悟的融合。以“融”為目的，能有效地提升學生的學習力，發展學生的數學學科核心素養。在“做數學”的過程中，學生的手與腦相互協調。“做”能打開學生的“思”路，“思”能拓寬學生“做”的空間。“做思共生”就是讓學生的心智、身體與環境互動，進而成就學生的“有意義學習”。

“做數學”中的“做”突出了學生數學學習對象的本體性特征，而“做數學”中的“思”，則突出了理性的數學思考。“做”是數學知識的展開，而“思”則是對學習對象的一種抽象、概括，是一種“必要的凝聚”。“做”是一種生活化，而“思”則是一種數學化。學生的數學學習就是做與思的相互轉化，因而也就是在數學化與生活化之間來回穿行。借助這種穿行，學生的數學認知、思維等獲得螺旋式上升。比如教學“分數的基本性質”（蘇教版五年級下冊）這一部分內容時，很多教師都借用“分數條”引導學生操作，讓“平均分的份數”和“表示的份數”同時擴大，從而讓學生直觀看到“分數的大小不變”。筆者在教學中同樣借助“分數條”，但對學生的操作卻進行放大處理。由此，學生在操作中出現這樣的幾種情況：一是平均分的份數擴大，學生能直觀看到所表示的分數在變小;二是表示的份數擴大，學生能直觀看到所表示的分數在變大;三是平均分的份數和表示的份數同時擴大，且擴大相同的倍數，學生能直觀看到所表示的分數大小不變。在這個過程中，學生邊做邊思、邊思邊做，做與思融為一體。這樣的“做數學”，還讓學生展開了積極的聯想，比如“被除數擴大商擴大，被除數縮小商縮小”“除數擴大商縮小，除數縮小商擴大”等。在類比過程中，學生對“分數的基本性質”的理解更加深刻，他們認識到“分數的基本性質”與“商不變的規律”在本質上是一致的。

以“融”為目的，要讓“做”切入學生思維的瓶頸處，切入學生思維的缺失處，切入學生思維的抽象處。學生的“做”與“思”相伴相生、相輔相成、相互促進，進而達到手腦互動、做思統一、知行合一的境界。“做數學”讓學生的數學學習從被動接受轉向主動建構，呈現出一種和諧、愉悅、圓融、互攝的樣態。