打破思維定式　感悟代數(shù)思想

房天營

【案例背景】

方程是小學(xué)階段培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)思想的重要載體，是學(xué)生由算術(shù)思維邁向代數(shù)思維的起點，所以方程在小學(xué)階段具有極其重要的地位。方程是學(xué)生在經(jīng)歷了用字母表示數(shù)的過程，并且會尋找數(shù)量之間的等量關(guān)系的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的。然而，無論是用字母表示數(shù)，還是尋找數(shù)量之間的等量關(guān)系，對學(xué)生而言都是很抽象的，他們一下子很難接受代數(shù)思維，所以教學(xué)的難度很大。

【教學(xué)內(nèi)容分析】

“認(rèn)識方程”這節(jié)課的重點是要學(xué)生結(jié)合具體情境了解方程的意義，會用方程表示情境中的等量關(guān)系，并且經(jīng)歷將現(xiàn)實問題抽象成等式與方程的過程，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中將積累等量關(guān)系符號化的活動經(jīng)驗。為了使學(xué)生體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個數(shù)學(xué)模型，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，教材編排了三個情境（如圖1-1、1-2、1-3）和三個問題：

第一個問題是用口頭語言描述上述情境中的等量關(guān)系（如圖2）。

第二個問題是引入“用字母表示數(shù)”，引導(dǎo)學(xué)生用式子表示情境中的等量關(guān)系（如圖3）。

第三個問題是觀察上面表示等量關(guān)系所用的式子，抽象并概括出共同特征，從而認(rèn)識方程（如圖4）。

【教學(xué)回放】

師（出示圖1-1）：估一估櫻桃的質(zhì)量。

生1：我估計大約有10克。

生2：我估計大約有30克。

師：你們說的都是具體的數(shù)量，能不能用字母來表示櫻桃的質(zhì)量？

生3：櫻桃的質(zhì)量是n克。

生4：櫻桃的質(zhì)量是x克。

……

出示：

師：根據(jù)這幅圖說一個式子。

生5：櫻桃的質(zhì)量+小砝碼的質(zhì)量=大砝碼的質(zhì)量。

師：現(xiàn)在櫻桃的質(zhì)量是x克，能列出一個式子嗎？

生6：x+2=10。

[教學(xué)思考：借助天平直觀演示平衡，說明兩邊物體的質(zhì)量相等，學(xué)生說出等量關(guān)系后很容易列出等式。由實物演示到抽象式子的過程，學(xué)生的思維能力得到進一步發(fā)展。]

出示圖6：

師：觀察情境圖，說出圖中的數(shù)量關(guān)系。

生7：4塊月餅的質(zhì)量=380克。

生8：每塊月餅的質(zhì)量×4=380克。

生9：380÷4就等于每塊月餅的質(zhì)量。

師：如果每塊月餅重y克，能列出一個等式嗎？

生10：380÷4=y。

師（有點著急）：沒錯，這是一個等式，但不是根據(jù)“每塊月餅的質(zhì)量×4=380克”來列的，還可以怎么列？

（學(xué)生沉默）

師：看黑板上的式子“每塊月餅的質(zhì)量×4=380克”，左邊是什么？右邊呢？怎么列式？

生11：y×4=380。

出示：4塊月餅的質(zhì)量=380克

4y=380

[教學(xué)思考：由天平過渡到電子秤，形式的變化使學(xué)生失去了直觀的兩端相等的參照，陷入了用算術(shù)法計算結(jié)果的慣性思維當(dāng)中。盡管教師一再啟發(fā)、提示，但學(xué)生由于沒有學(xué)習(xí)方程，始終很難想到用方程式子表示等量關(guān)系。]

出示課本情境圖：

師：看到這幅圖，你會列式嗎？

生12：（2000-200）÷2。

師：為什么這樣列式？

生12：這樣可以算出每個熱水瓶能裝900毫升水。

師：我們不需要計算出結(jié)果，只需要表示它們之間的相等關(guān)系。2個熱水瓶的容量和1個水杯的容量正好是水壺的容量，應(yīng)該怎樣列式？

生13：2個熱水瓶的容量+1個水杯的容量=水壺的容量。

師：如果每個熱水瓶的容量是n毫升，怎樣用式子表示？

生14：2×n+200=2000。

生15：2n+200=2000。

（教師根據(jù)板書的算式分類、歸納，揭示方程的概念。然而在練習(xí)環(huán)節(jié)，學(xué)生依然出現(xiàn)了“不列方程，而用算術(shù)方法直接算出結(jié)果”的現(xiàn)象。）

[教學(xué)思考：用語言表達(dá)等量關(guān)系本身就是教學(xué)的難點，更何況是這么復(fù)雜的等量關(guān)系，學(xué)生不能順利說出等量關(guān)系也是意料之中。但教師沒有更好的辦法引導(dǎo)學(xué)生感受順向思維的優(yōu)勢。]

出示圖8：

生16：x+20=20+50。

出示圖9：

生17：（11-7）÷2=x。

（有的學(xué)生干脆直接算出了結(jié)果）

【案例研討】

在議課環(huán)節(jié)，評課教師給出了積極的評價：執(zhí)教者語言幽默詼諧，尤其是肢體語言極為豐富，課堂上笑聲不斷，給學(xué)生營造了一個愉快的學(xué)習(xí)氛圍;這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計樸實而有新意，教學(xué)過程真實而生動，學(xué)生學(xué)得輕松又愉快。但是也提出了存在的問題：在揭示方程概念時，學(xué)生列方程表示的式子始終沒能達(dá)到要求，雖然這是學(xué)生真實的學(xué)習(xí)狀態(tài)，但是顯然沒有達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果。

學(xué)生在表示情境圖中的等量關(guān)系時為什么不會順向思維用方程表示，非得逆向思維用算術(shù)方法計算出結(jié)果呢？如何解決這一問題？

【案例分析及思考】

帶著這個問題，筆者認(rèn)真查閱了相關(guān)資料并積極和教研組的教師進行了探討，得出以下幾個方面的因素。

1.學(xué)生的思維定式。用算術(shù)方法計算結(jié)果是學(xué)生多年的習(xí)慣，因為從小學(xué)一年級開始，面對問題時，教師常這樣提問：“要想求出這個問題，我們該怎么計算？”算術(shù)法已經(jīng)成為學(xué)生的慣性思維，因而與新知造成沖突。而學(xué)生的認(rèn)知與經(jīng)驗發(fā)生沖突，正是學(xué)習(xí)新知的一個契機，也是學(xué)習(xí)新知的增長點。對此，教師首先應(yīng)認(rèn)可等式380÷4=y，再引導(dǎo)學(xué)生利用字母表示數(shù)的知識進行討論，最后得出4y=380。這樣，先讓學(xué)生明白同樣的等量關(guān)系可以用不同的等式表達(dá)，再引導(dǎo)學(xué)生比較這兩個等式哪個更好，更符合思維習(xí)慣。學(xué)生經(jīng)過比較后也會得出“4y=380更好理解”的結(jié)論。

2.學(xué)生對于用字母表示數(shù)量和把字母當(dāng)成已知數(shù)量參與運算不習(xí)慣。因為有了前一節(jié)的用字母表示數(shù)的認(rèn)知基礎(chǔ)，本節(jié)課的教學(xué)如果要充分鏈接舊知識，在涉及從數(shù)量等式到含有字母的等式時，就需要適當(dāng)過渡一下。如一開始的天平平衡，兩邊都放入已知的砝碼，左邊放2個5克砝碼，右邊放一個10克砝碼，讓學(xué)生得出5+5=10，然后把一個砝碼換成一個實物，假設(shè)它有x克，引導(dǎo)學(xué)生寫出5+x=10。這樣強化等量關(guān)系和等式的概念，便能喚醒學(xué)生的舊知，學(xué)生就能夠從生活情境中提煉出方程模型，并用含有未知數(shù)的等式來表達(dá)等量關(guān)系。

3. 學(xué)生處在由具體形象思維到抽象思維的過渡時期。用天平演示時，學(xué)生很容易得出等量關(guān)系，并列出方程，而對于隱藏了天平的實物或圖片，學(xué)生則不容易列出方程。這就充分說明了具體形象的東西，學(xué)生容易理解和接受，而對于需要進行分析和推理的概念，學(xué)生則難以接受和領(lǐng)悟。對此，可充分利用多媒體和各種直觀的實物教具，先帶領(lǐng)學(xué)生對等量關(guān)系及等式進行有目的地觀察，讓學(xué)生從具體的形象中區(qū)分哪些是主要的，哪些是次要的，找出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，再用形象生動的語言啟發(fā)他們比較、分析和判斷，找出其中的相同點和不同點，再歸納概括出等量關(guān)系與等式之間的本質(zhì)屬性，學(xué)生就能從形象思維過渡到抽象思維，列方程就會更加順利。

4.提出的問題指向不明確。在出示4塊月餅重380克的情境圖之后，教師提出：“觀察情境圖，說出圖中的數(shù)量關(guān)系?！苯又謫枺骸叭绻繅K月餅重y克，能列出一個等式嗎？”這樣的問題指向不夠明確，學(xué)生的思考也就沒有目的性。這里的問題可以更具體些，例如改成“根據(jù)情境圖，我們可以找到一個等量關(guān)系，寫出一個等式，那么在圖中你還能找到另一塊等量關(guān)系嗎？”這樣學(xué)生就能容易地說出“4塊月餅的質(zhì)量=380克”。教師再啟發(fā)學(xué)生分析 “當(dāng)一塊月餅的質(zhì)量未知時，我們可用字母x或y表示，那么能得出一個什么樣的等式呢？”這樣的引導(dǎo)更自然，學(xué)生用方程來表示也會水到渠成。

總之，教學(xué)方程知識，教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的思維水平，運用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，提出切實可行的要求，對學(xué)生進行代數(shù)思維的初步訓(xùn)練。只有這樣，才能讓學(xué)生感悟和接受方程思想，從而與初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)接軌。“教學(xué)永遠(yuǎn)是一門遺憾的藝術(shù)”，但只要教師靜下心來思考，蹲下身體了解學(xué)生，深度把握細(xì)節(jié)，有效突破難點，就會讓課堂精彩而高效，也會讓遺憾少一些。

（責(zé)編 金 鈴）