基于雨課堂探討B(tài)OPPPS模式在復(fù)變函數(shù)中的應(yīng)用

曹姝萍

摘要：復(fù)變函數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分，在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力及工程應(yīng)用中有不可替代的作用.科學(xué)的課程設(shè)計(jì)是復(fù)變函數(shù)教學(xué)的重中之重.本文通過(guò)討論復(fù)變函數(shù)的課程特色及目前的教學(xué)現(xiàn)狀，基于學(xué)校提供的雨課堂平臺(tái)探討了BOPPPS模式在復(fù)變函數(shù)教學(xué)過(guò)程中實(shí)施的可行性.進(jìn)一步通過(guò)案例分析，發(fā)現(xiàn)起承轉(zhuǎn)合的BOPPPS教學(xué)模式不僅利于夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，還可以活躍課堂氣氛，帶動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，對(duì)課程改革有推動(dòng)作用.

關(guān)鍵詞：復(fù)變函數(shù)教學(xué);雨課堂;BOPPPS教學(xué)模式

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）21-0041-03

1復(fù)變函數(shù)的教學(xué)現(xiàn)狀

復(fù)變函數(shù)中很多定義、性質(zhì)及定理與實(shí)變函數(shù)類似，但其思想和方法上有本質(zhì)的區(qū)別，若前期課程基礎(chǔ)不扎實(shí)，理論知識(shí)薄弱會(huì)影響學(xué)生對(duì)該課程的學(xué)習(xí)興趣;其次復(fù)變函數(shù)的理論推導(dǎo)及計(jì)算繁瑣復(fù)雜，傳統(tǒng)的“滿堂灌”會(huì)加重學(xué)生的恐懼感進(jìn)而打擊其積極性;再者應(yīng)用背景的復(fù)雜性及課時(shí)的有限導(dǎo)致教師會(huì)忽略背景引入，讓學(xué)生無(wú)法產(chǎn)生學(xué)習(xí)動(dòng)力.

復(fù)變函數(shù)課程的教學(xué)方法已有很多的探討，如利用類比教學(xué)法將數(shù)學(xué)分析與復(fù)變函數(shù)的問(wèn)題對(duì)比講授，讓學(xué)生通過(guò)研讀、討論、及撰寫論文等形式培養(yǎng)其自學(xué)能力和自主探究的興趣;通過(guò)案例引入發(fā)現(xiàn)探索式教學(xué)模式提高對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的有效培養(yǎng)作用;通過(guò)引入“微課堂”這種具有目標(biāo)性強(qiáng)、短小精悍特點(diǎn)的構(gòu)建主義方法，解決了課時(shí)不足，課堂氣氛沉悶等問(wèn)題.這些研究方法都是針對(duì)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法的討論，沒(méi)有針對(duì)復(fù)變函數(shù)課程的特點(diǎn)給出完整的課堂教學(xué)設(shè)計(jì).

2BOPPPS模式與雨課堂平臺(tái)在復(fù)變函數(shù)教學(xué)應(yīng)用中的可行性分析

BOPPPS教學(xué)模式是一種以教學(xué)目標(biāo)為導(dǎo)向，以學(xué)生為中心的新型教學(xué)模式，，其將教學(xué)內(nèi)容按照引入、目標(biāo)、前測(cè)、參與式學(xué)習(xí)、后測(cè)及總結(jié)六個(gè)環(huán)節(jié)依次展開，教師以師生互動(dòng)為核心，通過(guò)各類教學(xué)手段來(lái)開展教學(xué)活動(dòng).BOPPPS教學(xué)模式不與傳統(tǒng)教學(xué)對(duì)立，而是提供了一種理念和框架，教師可根據(jù)學(xué)校特點(diǎn)，學(xué)科特色及學(xué)情等有針對(duì)性地改進(jìn)，進(jìn)而形成自己的風(fēng)格，是一種易學(xué)的教學(xué)方式.已經(jīng)有很多的學(xué)者將這種模式成功運(yùn)用到教學(xué)中，如在線性代數(shù)中引入此模式，通過(guò)對(duì)照實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)班級(jí)期末成績(jī)優(yōu)秀率高出對(duì)照班14.2%;借助學(xué)習(xí)通給出BOPPPS在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的教學(xué)實(shí)踐過(guò)程，并通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查的形式反饋出學(xué)生對(duì)該模式的認(rèn)可和喜愛.這些成功案例對(duì)在復(fù)變函數(shù)課程中實(shí)施此模式有借鑒作用.

復(fù)變函數(shù)的每章是一個(gè)大模塊，對(duì)應(yīng)的每節(jié)是一個(gè)小模塊，章節(jié)間各有特點(diǎn)又互有聯(lián)系，與BOPPPS教學(xué)模式適配性很高.此外復(fù)變函數(shù)理論性較強(qiáng)，應(yīng)用背景復(fù)雜，高強(qiáng)度的理論講述容易讓學(xué)生產(chǎn)生腦力疲勞，所以BOPPPS模型將課堂內(nèi)容切割成15分鐘左右的多個(gè)教學(xué)小模塊，讓學(xué)生在注意力集中的階段高效把握核心知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)起承轉(zhuǎn)合的講述，避免內(nèi)容平鋪直敘.

雨課堂是清華大學(xué)與學(xué)堂在線采用云計(jì)算科學(xué)技術(shù)共同研發(fā)的一種新型教學(xué)工具，僅需要通過(guò)PowerPoint和微信將教師端與學(xué)生端聯(lián)系起來(lái)，形成了線上預(yù)備與考核，線下互動(dòng)的混合式教學(xué)模式，其可將教學(xué)資源輕松插入幻燈片中，實(shí)現(xiàn)多樣化教學(xué)，通過(guò)課前預(yù)習(xí)與課后作業(yè)功能幫助學(xué)生預(yù)習(xí)和內(nèi)化知識(shí)，課堂上豐富的師生互動(dòng)形式帶動(dòng)課堂氣氛，下課后通過(guò)微信及時(shí)反饋課堂情況，為教師實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)掌握學(xué)情提供方便，且每個(gè)環(huán)節(jié)的打分機(jī)制也為平時(shí)成績(jī)的合理性提供依據(jù).在復(fù)變函數(shù)課堂中引入這種多樣化的教學(xué)手段推動(dòng)了數(shù)學(xué)教學(xué)改革.

3基于雨課堂對(duì)BOPPPS教學(xué)模式在課程中的探討

目標(biāo)是BOPPPS教學(xué)模式的核心，是一節(jié)課的方向引導(dǎo).這部分需要教師按照教學(xué)大綱制定.在課堂上教師需言簡(jiǎn)意賅的闡明本堂課的學(xué)習(xí)任務(wù)及學(xué)習(xí)后應(yīng)掌握什么，而不是將教學(xué)目標(biāo)直接展示.

導(dǎo)入是為了吸引學(xué)生注意力，引導(dǎo)其對(duì)預(yù)講內(nèi)容有強(qiáng)烈的好奇心和學(xué)習(xí)興趣，這部分對(duì)教師的專業(yè)素養(yǎng)及數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)有很高的要求，教師需要把握所講章節(jié)在整個(gè)教材中的地位和重要性，還需教師對(duì)基礎(chǔ)理論的背景和應(yīng)用有深入挖掘.導(dǎo)入的方式應(yīng)隨章節(jié)及內(nèi)容靈活處理，切勿生搬硬套，無(wú)法引起學(xué)生共鳴.這部分教師可借助雨課堂的資料視頻及技術(shù)手段，從不同角度去開展.

前測(cè)是對(duì)學(xué)生的一次摸底考試，雨課堂豐富的測(cè)試功能可協(xié)助教師完成此教學(xué)環(huán)節(jié).復(fù)變函數(shù)中對(duì)定理的靈活運(yùn)用需要學(xué)生對(duì)其條件的精準(zhǔn)掌握，前測(cè)可以讓教師了解學(xué)生的基礎(chǔ)掌握情況，進(jìn)而調(diào)整接下來(lái)的參與式互動(dòng)環(huán)節(jié)，同時(shí)對(duì)學(xué)生的課下復(fù)習(xí)起到督促作用.

師生參與式學(xué)習(xí)是課堂教學(xué)的核心，這部分教師可以根據(jù)班級(jí)學(xué)情和自身經(jīng)驗(yàn)，以學(xué)生為中心，合理運(yùn)用雨課堂資源進(jìn)行展開，增強(qiáng)參與式的師生交互學(xué)習(xí)效果.后測(cè)是對(duì)參與式學(xué)習(xí)的檢驗(yàn)和評(píng)估，教師應(yīng)設(shè)置合理的能體現(xiàn)本節(jié)課目標(biāo)的習(xí)題與互動(dòng)進(jìn)行評(píng)估，進(jìn)而適時(shí)調(diào)整后續(xù)總結(jié)與模塊引入.最后教師需要帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行核心知識(shí)點(diǎn)的總結(jié)，這既是一種復(fù)習(xí)，也是一種知識(shí)內(nèi)化，不可或缺.同時(shí)教師應(yīng)積極參與BOPPPS教學(xué)模式的研討會(huì)等，通過(guò)與同行新老教師積極交流合作，分享經(jīng)驗(yàn)與體會(huì)，加深對(duì)教學(xué)模式的強(qiáng)化認(rèn)識(shí).

BOPPPS教學(xué)模式需要學(xué)生對(duì)課程的基礎(chǔ)知識(shí)如數(shù)學(xué)分析掌握較好，故教師應(yīng)對(duì)班級(jí)學(xué)情有所了解，備課時(shí)應(yīng)充分考慮對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的回顧與總結(jié).而復(fù)變函數(shù)課程課時(shí)一般都比較緊張，課堂上的互動(dòng)會(huì)占用很長(zhǎng)時(shí)間，所以建議教師借助雨課堂布置課前預(yù)習(xí)，通過(guò)添加習(xí)題、視頻及語(yǔ)音等材料內(nèi)容向?qū)W生手機(jī)端推送，并通過(guò)雨課堂的觀看時(shí)長(zhǎng)，是否觀看課件等記分機(jī)制給學(xué)生預(yù)習(xí)打分，督促學(xué)生進(jìn)行預(yù)習(xí)，讓學(xué)生養(yǎng)成主動(dòng)學(xué)習(xí)的習(xí)慣.

4復(fù)變函數(shù)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)策略本文以復(fù)變函數(shù)中第五章第1節(jié)內(nèi)容“解析函數(shù)的洛朗展式”為例，進(jìn)一步結(jié)合雨課堂給出BOPPPS教學(xué)模式下復(fù)變函數(shù)的課堂設(shè)計(jì)策略.這一節(jié)內(nèi)容一個(gè)課時(shí)可劃分成兩個(gè)教學(xué)模塊，接下來(lái)對(duì)第一個(gè)教學(xué)模塊進(jìn)行教學(xué)展示.

4.1導(dǎo)入

通過(guò)給出函數(shù)f（z）=11-z，引導(dǎo)學(xué)生討論其在整個(gè)復(fù)平面上的解析性;其次通過(guò)f（z）=11-z在z=0的冪級(jí)數(shù)展開式及展開區(qū)域z<1，對(duì)比解析區(qū)域及展開區(qū)域引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)此函數(shù)僅因?yàn)橐粋€(gè)奇點(diǎn)卻使得函數(shù)只能在小區(qū)域z<1展開成冪級(jí)數(shù)，提問(wèn)學(xué)生對(duì)于z>1這個(gè)區(qū)域解析函數(shù)能展開成級(jí)數(shù)形式嗎？

4.2目標(biāo)

通過(guò)幻燈片展示：在本節(jié)課后學(xué)生應(yīng)能掌握函數(shù)可展成雙邊冪級(jí)數(shù)的條件，并能熟練給出特定區(qū)域的展式，為留數(shù)的計(jì)算打好基礎(chǔ).

4.3前測(cè)

本模塊以冪級(jí)數(shù)的相關(guān)理論及柯西積分公式為基礎(chǔ)，利用雨課堂的課堂互動(dòng)功能，制作幻燈片測(cè)試題.

判斷題：若函數(shù)f（z）在z0處解析，則它在該點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可展開為冪級(jí)數(shù)（√）.

單項(xiàng)選擇題：設(shè)冪級(jí)數(shù)∑

SymboleB@

n=0cnzn，∑

SymboleB@

n=0ncnzn-1和∑

SymboleB@

n=0cnn+1zn+1的收斂半徑分別為R1，R2，R3，則R1，R2，R3之間的關(guān)系為（）.

A.R1

C.R1>R2>R3D.R1

利用隨機(jī)點(diǎn)名功能或者學(xué)生主動(dòng)參與方式回答柯西積分公式的內(nèi)容，根據(jù)客觀題的作答情況靈活調(diào)整參與式學(xué)習(xí)部分，并將得分記為平時(shí)分的一部分，督促學(xué)生參與進(jìn)課堂中來(lái).4.4參與式學(xué)習(xí)

因?yàn)楸竟?jié)概念及定理較多，故以學(xué)生為主體，采用PBL（基于問(wèn)題的學(xué)習(xí)）方法進(jìn)行.

問(wèn)題1：什么是雙邊冪級(jí)數(shù)？與冪級(jí)數(shù)有什么區(qū)別？

問(wèn)題2：教師通過(guò)課件展示定理5.1，提問(wèn)學(xué)生此定理如何證明？

問(wèn)題3：洛朗系數(shù)有微分形式嗎？即cn=f（n）（a）n！是否成立？a一定是f（z）的奇點(diǎn)嗎？

4.5后測(cè)

通過(guò)計(jì)算例題：討論f（z）=11-z在區(qū)域z>1處是否可以洛朗展開，了解函數(shù)洛朗展開的方法.

學(xué)生通過(guò)例題總結(jié)出直接利用定理計(jì)算洛朗系數(shù)cn較麻煩，指導(dǎo)學(xué)生借助冪級(jí)數(shù)的展開給出其洛朗展式，由此啟發(fā)學(xué)生依據(jù)洛朗展式的惟一性，冪級(jí)數(shù)的間接展開方法也可以用到計(jì)算洛朗展式中來(lái).

至此這一模塊的教學(xué)環(huán)節(jié)完成，這是筆者對(duì)自己復(fù)變函數(shù)教學(xué)活動(dòng)的一種展示，在期末復(fù)習(xí)階段通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查的形式反饋出學(xué)生們對(duì)此模式的支持，同時(shí)也得到了很多有益建議，幫助筆者進(jìn)一步改進(jìn)和優(yōu)化各個(gè)環(huán)節(jié).

隨著信息化時(shí)代互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展，傳統(tǒng)的高等教育模式急需轉(zhuǎn)變，高校的教育教學(xué)改革勢(shì)在必行.本文通過(guò)復(fù)變課程的課程特點(diǎn)及教學(xué)問(wèn)題，分析了當(dāng)下被廣泛討論的BOPPPS教學(xué)模式在復(fù)變函數(shù)課程中實(shí)施的可行性.模塊化的BOPPPS教學(xué)模式以學(xué)生為中心，重視學(xué)生的課堂參與度與主動(dòng)性，有利于復(fù)變函數(shù)的教學(xué)過(guò)程的開展.其次將教學(xué)工具嵌入PowerPoint與微信這兩個(gè)熟悉的軟件中，讓教師與學(xué)生群體均易于操作，不介入其他軟件，對(duì)教育教學(xué)活動(dòng)有很好的借鑒作用.最后對(duì)于此模式的選擇并不是一勞永逸的，在實(shí)際的教學(xué)活動(dòng)中，需要教師根據(jù)所教授課程的特點(diǎn)靈活調(diào)整，切勿生搬硬套.

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[責(zé)任編輯：李璟]