淺談矩陣的初等行變換在線性代數中的應用

張亞龍

摘要：本文從矩陣的初等行變換出發，分別提出在矩陣、向量組、線性方程組、矩陣的特征向量、二次型中的一些應用，并呈現對應例題，加強學生對矩陣的初等行變換的理解與應用.

關鍵詞：初等行變換;矩陣;向量組;線性方程組

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）21-0029-03

目前，《線性代數》這門課程是理工科和經管類必開設的一門課程，主要內容包括行列式、矩陣、線性方程組、向量組、相似矩陣、二次型等.矩陣的初等行變換貫穿在整個線性代數的內容中，為了方便學生學習，下面歸納總結了關于矩陣初等行變換在線性代數中的應用.

1 矩陣中的應用

1.1 求矩陣的逆

若矩陣A可逆，則A-1也可逆，A-1可以表示成若干個初等矩陣的乘積，因此可由矩陣的初等行變換求A-1，即（A，E）初等行變換（E，A-1），我們將矩陣A和單位矩陣E都做初等行變換，當矩陣A化為單位矩陣E時，單位矩陣E就變成了A-1.

例1求矩陣A=1-20

120

221的逆.

解作一個3×6的矩陣（A，E），并對其做矩陣的初等行變換.

（A，E）=1-20100

120010

221001→

10012120

010-14140

001-12-321=（E，A-1）.

因此，A-1=12120

-14140

-12-321.

1.2 求矩陣的秩

矩陣秩的定義是非零子式的最高階數，我們知道初等變換不改變矩陣的秩，對矩陣A做初等行變換化為行階梯形矩陣B，由行列式的性質可知，矩陣A和矩陣B的非零子式最高階數相同，所以矩陣A與矩陣B的秩相等.

例2求矩陣A=1-1210

10011

2-2420

03001的秩.

解對矩陣A做初等行變換化為行階梯形矩陣.

A=1-1210

10011

2-2420

03001→1-1210

01-201

0060-2

00000=B

因為矩陣B中有三個非零行，即R（B）=3，所以R（A）=3.

2 在向量組中應用

2.1 求向量組的秩

由于任何矩陣A，它的行秩=列秩=R（A），因此我們只需將向量組中的向量均按列構成一個矩陣A，向量組的秩就等于矩陣A的秩.

例3求向量組α1=（1，-2，2），α2=（1，-4，0），α3=（1，-2，2）的秩.

解以αT1，αT2，αT3為列向量構成矩陣A，并對矩陣A進行初等行變換，把A化為階梯形矩陣B.

A=111

-2-4-2

202→111

0-20

0-20→111

010

000=B，得R（A）=R（B）=2，又因為向量組α1，α2，α3的秩等于矩陣A的秩，即向量組α1，α2，α3的秩為2.

2.2 求向量組的極大無關組

由于初等行變換不改變矩陣列向量的線性關系，因此可由初等行變換求解向量組的極大無關組.

例4求向量組α1=（1，2，3，0），α2=（-1，-2，0，3），α3=（2，4，6，0），α4=（1，-2，-1，0）的一個極大線性無關組.

解以αT1，αT2，αT3，αT4為列向量構成矩陣A，并對矩陣A進行初等行變換，把A化為行最簡形矩陣B.

A=1-121

2-24-2

306-1

0300→1020

0100

0001

0000=B

非零行首非零元1所在的列作極大線性無關組，因此向量組α1，α2，α3，α4的一個極大線性無關組為α1，α2，α4.

3 在線性方程組中的應用

通過一系列的初等行變換，將系數矩陣或增廣矩陣化為行最簡形矩陣，判斷方程組是否有解，有解的情況下，求出通解.

3.1 解齊次線性方程組

例5求解齊次線性方程組

2x1+x2-x3+3x4=0

x1+2x2+3x3+x4=0

3x2+7x3-x4=0

x1-x2-4x3+2x4=0

解對系數矩陣A進行初等行變換，化為行最簡形矩陣，A=21-13

1231

037-1

1-1-42

→1231

0173-13

0000

0000→10-5353

0173-13

0000

0000

得同解方程組為x1=53x3-53x4

x2=-73x3+13x4其中x3，x4為自由未知量，令自由未知量x3

x4依次取1

0，0

1，得基礎解系η1=53

-73

1

0，η2=-53

13

0

1，所以齊次線性方程組的通解為c1η1+c2η2，（c1，c2為任意常數）.

3.2 解非齊次線性方程組

例6求非齊次線性方程組x1+x2=5

2x1+x2+x3+2x4=1

5x1+3x2+2x3+2x4=3的通解.

解對增廣矩陣B進行初等行變換，化為行最簡形矩陣.

B=11005

21121

53223→

1012-4

01-1-29

000-2-4→1010-8

01-1013

00012

可以得出系數矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，并且小于未知量的個數，因此方程組有無數個解.即它的同解方程組為x1=-x3-8

x2=x3+13

x4=2，其中x3為自由未知量，令自由未知量x3=0，得特解α0=-8

13

0

2.

導出組的同解方程組為x1=-x3

x2=x3

x4=0，其中x3為自由未知量，令x3=1，得對應齊次線性方程組的基礎解系η=-1

1

1

0，所以線性方程組的通解為α0+cη=-8

13

0

2+c-1

1

1

0，其中c為任意常數.

4 在矩陣特征向量中的應用

上面我們介紹了用初等行變換求解線性方程組，計算矩陣的特征向量就會涉及到解齊次線性方程組.

例7求矩陣A=22-2

25-4

-2-45的特征向量.

解由A-λE=2-λ2-2

25-λ-4

-2-45-λ=-（1-λ）2（λ-10）=0，得矩陣的特征值λ1=10，λ2=λ3=1.

當特征值λ1=10時，解齊次線性方程組（A-10E）X=0，即A-10E=-82-2

2-5-4

-2-45→201

011

000→1012

011

000得基礎解系η1=-12

-1

1，故A的對應于特征值λ1=10的全部特征向量為c1-12

-1

1，其中c1為任意非零常數.

當λ2=λ3=1時，解齊次線性方程組（A-E）X=0，即A-E=12-2

24-4

-2-44→12-2

000

000，

其基礎解系為η2=-2

1

0，η3=2

0

1，故A的對應于特征值λ2=λ3=1的全部特征向量為c2-2

1

0+c32

0

1，其中c2，c3是不全為零的任意常數.

矩陣的初等行變換貫穿于整個線性代數章節中，熟練應用初等行變換是學好線性代數的基礎，學生要在平時學習中，學會歸納總結，使每個知識點建立聯系.

參考文獻：

[1] 同濟大學數學系.工程數學線性代數[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2] 郝秀梅，姜慶華.線性代數[M].北京：經濟科學出版社，2017.

[責任編輯：李璟]