淺談高等數(shù)學知識在概率論中的應用

崔冬玲

（淮南師范學院 數(shù)學與計算科學系，安徽 淮南 232038）

淺談高等數(shù)學知識在概率論中的應用

崔冬玲

（淮南師范學院 數(shù)學與計算科學系，安徽 淮南 232038）

通過具體的實例總結(jié)極限、導數(shù)、積分、級數(shù)在概率論中的應用，從而體現(xiàn)出高等數(shù)學知識在概率論中的地位和作用.

積分；極限；數(shù)字特征；中心極限定理

高等數(shù)學和概率統(tǒng)計這兩門課是理科專業(yè)的兩門非常重要的基礎課，同時也是本科學生考研的兩門必備課.特別是概率統(tǒng)計，它具有實踐性強、所涉及內(nèi)容廣、學習難度大等特點.如何將其教好、學好是老師、同學所共同關(guān)心的問題.解決此問題的一個重要途徑就是發(fā)揮好高等數(shù)學在概率論中的理論和工具作用.

下面從兩個方面說明極限、導數(shù)、積分、級數(shù)在概率論中的應用.

1 高等數(shù)學知識在概率論中的理論應用

概率論中的許多定義、定理均以高等數(shù)學知識作為基礎：

1.1 隨機事件的研究方法就是將集合賦予了概率論的含義，事件之間的運算實則為集合之間的運算.運用最廣泛也是最重要的一種運算律為摩根率：

1.2 連續(xù)型隨機變量的概率密度與分布函數(shù)間的關(guān)系以及部分相關(guān)性質(zhì)將變上限積分的求導問題、偏導數(shù)的概念、極限等知識發(fā)揮得特別充分.

例如：

（1）一維隨機變量的概率密度f(x)與分布函數(shù)F(x)間的關(guān)系：

（2）二維隨機變量的聯(lián)合概率密度f(x,y)與聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)間的關(guān)系：

若(X,Y)：f(x,y)，則

（3）對于連續(xù)性隨機變量X有P{X=a}=0，它的證明是利用了函數(shù)的連續(xù)性.

1.3 隨機變量的數(shù)字特征，無論是一維隨機變量還是二維隨機變量，其方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)等，最后都轉(zhuǎn)化為期望來計算，而期望的定義是利用級數(shù)的絕對收斂和反常積分的絕對收斂得來的.

例如：

（1）隨機變量X的分布律為P{X=(-1)j+1，j=1,2,3…，則，此級數(shù)不是絕對收斂的，根據(jù)期望的定義，E(X)是不存在的.

1.4 大數(shù)定律與中心極限定理無論是定理本身還是定理的證明都將極限的作用發(fā)揮得淋漓盡致.

例如：辛欽大數(shù)定律的證明，其中關(guān)鍵性的一步運用了極限收斂準則中的兩邊夾定理最后得出結(jié)論，即

2 高等數(shù)學知識在概率論中的實際應用

在概率論中，已知一維連續(xù)性隨機變量的概率密度來求分布函數(shù)，數(shù)字特征；已知二維隨機變量的聯(lián)合概率密度求邊緣概率密度、條件概率密度、分布函數(shù)以及數(shù)字特征等問題，定積分與二重積分發(fā)揮了計算工具的重要作用.有的題目在求解的過程中，其實概率論的知識比較簡單，無非是公式，定理的應用，而題目難就難在積分的計算上，特別是伽馬函數(shù)Γ(r)=及其相關(guān)結(jié)論：

此題分析思路非常簡單，就是一個期望的公式，但計算比較復雜，幸好用了伽馬函數(shù)，這樣解決起來比較方便.

此題從分析思路和計算的角度來講都不難，就是二維隨機變量數(shù)學期望的公式和計算二重積分，但利用伽馬函數(shù)比用分部積分計算要更簡單.

3 小結(jié)

可以說，概率論就是用高等數(shù)學的知識作為基礎和工具來解決問題的一門學科，特別是定積分、反常積分、二重積分等知識的熟練應用，能大大提高同學學習概率論的學習效率.

〔1〕盛驟，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2009.

〔2〕同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學[M].北京：高等教育出版社，2008.

O13；O24

A

1673-260 X（2013）10-0006-02