初中數(shù)學(xué)建模案例分析

韓際兵

在新課程標(biāo)準(zhǔn)背景下，數(shù)學(xué)建模教學(xué)模式是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的必然選擇。目前，構(gòu)造方程模型、構(gòu)造不等式模型、構(gòu)造幾何模型、構(gòu)造函數(shù)模型是現(xiàn)實(shí)中比較常見的數(shù)學(xué)模型。初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)一般需要經(jīng)過六個(gè)步驟：建模準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型建立、模型求解、模型分析和模型檢驗(yàn)。在實(shí)踐中，要綜合運(yùn)用圖像分析法、列表分析法、關(guān)系分析法等建模分析方法，加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模的實(shí)踐分析。

近年來，我國初中數(shù)學(xué)教學(xué)改革事業(yè)卓有成效，取得了不斐的改革成績。然而，由于傳統(tǒng)觀念的長期制約，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中仍存在一些問題，如重知識教學(xué)輕實(shí)踐教學(xué)、重考試成績輕質(zhì)量提高、重學(xué)習(xí)結(jié)果輕學(xué)習(xí)過程等。受此影響，初中數(shù)學(xué)教學(xué)改革的效果遠(yuǎn)未達(dá)到預(yù)期。在這種情況下，學(xué)習(xí)和實(shí)踐數(shù)學(xué)建模教學(xué)模式的呼聲日益高漲。在此基礎(chǔ)上，本文從常用模型、建模步驟和分析方法三個(gè)方面對相關(guān)問題進(jìn)行了分析和闡述。

一、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的工具和手段。能否利用好它們，直接影響到實(shí)際教學(xué)效果的好壞。為此，我們應(yīng)對數(shù)學(xué)模型的類型有一個(gè)清晰的認(rèn)識，以做到融會貫通。就目前而言，比較常見的數(shù)學(xué)模型有以下幾種：

1. 構(gòu)造方程模型。構(gòu)造方程模型，又稱方程組模型，是數(shù)量關(guān)系研究中的基本數(shù)學(xué)模型。眾所周知，明確數(shù)量關(guān)系，有助于我們準(zhǔn)確地認(rèn)識問題、分析問題和解決問題。而構(gòu)造方程模型又是明確數(shù)學(xué)關(guān)系的基本途徑。因此，對于那些涉及數(shù)量關(guān)系的問題，如濃度配比問題、行程問題、工程問題、儲蓄利息問題、增長率問題、打折銷售問題、分期付款問題等等，都可建立構(gòu)造方程模型。

2. 構(gòu)造不等式模型。構(gòu)造不等式模型也是處理變量關(guān)系方面比較常見的數(shù)學(xué)模型。不同的是，構(gòu)造方程模型用以處理相等的數(shù)量關(guān)系，而構(gòu)造不等式模型則用以處理不等的數(shù)量關(guān)系。如價(jià)格范圍核定問題、統(tǒng)籌安排問題、生產(chǎn)決策問題等等，都可通過構(gòu)造不等式模型來解決。

3. 構(gòu)造幾何模型。在實(shí)際中，如果實(shí)際問題無法直接解決，就可嘗試將其轉(zhuǎn)化為幾何問題進(jìn)行解決。而且，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中包含著各式各樣的幾何問題，如裁剪方案問題、工程定位問題、測量問題、建筑問題、航海問題、道路拱橋設(shè)計(jì)問題等等。依靠這些幾何問題，可建立幾何模型，以此來解決各類現(xiàn)實(shí)問題。

4. 構(gòu)造函數(shù)模型。在現(xiàn)實(shí)中，各類數(shù)量關(guān)系及運(yùn)動規(guī)律，都可通過函數(shù)的形式予以體現(xiàn)。因此，構(gòu)造函數(shù)模型是初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)不可或缺的內(nèi)容。如方案最優(yōu)化問題、最小成本問題、最佳投資問題、用料造價(jià)問題、計(jì)劃決策問題等等，都可建立相應(yīng)的函數(shù)模型。

二、初中數(shù)學(xué)建模的基本步驟

通常情況下，初中數(shù)學(xué)建模大致經(jīng)歷以下六個(gè)步驟：

1. 建模準(zhǔn)備。在問題分析過程中，應(yīng)對問題的背景進(jìn)行通盤考慮，并據(jù)此而制定科學(xué)的建模目標(biāo)。同時(shí)，要整理相關(guān)的數(shù)據(jù)資料，并圍繞著問題進(jìn)行量性分析，以明確量的關(guān)系以及問題的本質(zhì)。

2. 模型假設(shè)。問題簡化是模型假設(shè)的重要基礎(chǔ)，要依據(jù)建模目標(biāo)進(jìn)行有針對性的問題簡化。而且，在模型假設(shè)過程中，還應(yīng)注意語言的精確性，盡量選擇那些主要的因素和變量進(jìn)行假設(shè)。

3. 模型建立。假設(shè)模型以后，緊接著應(yīng)將這種假設(shè)輔助實(shí)踐。基于對各個(gè)變量的定量和定性分析，再輔之以簡單而又合理的教學(xué)工具，建立數(shù)學(xué)模型。

4. 模型求解。建立數(shù)學(xué)模型意在解決實(shí)際問題。根據(jù)實(shí)際問題的需要，對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解處理。其中，比較常見的求解類型有圖解、解方程、邏輯推理、定理證明等等。

5. 模型分析。待模型求解以后，根據(jù)不同的角度來分析求解的結(jié)果，如最優(yōu)決策選擇、數(shù)學(xué)預(yù)測、變量分析等等。

6. 模型檢驗(yàn)。實(shí)際問題是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ头治龊脡牡淖罴堰x擇。通常情況下，我們主要檢驗(yàn)?zāi)Ｐ头治龅倪m用性、合理性、真實(shí)性，而這些都可以通過實(shí)際問題中的現(xiàn)象或者具體數(shù)據(jù)來實(shí)現(xiàn)。再者，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪潜ＷC數(shù)學(xué)模型質(zhì)量的最后一道關(guān)卡。看似合理的數(shù)學(xué)模型，如果未檢驗(yàn)或者未通過檢驗(yàn)，那么也不會被接受。

三、初中數(shù)學(xué)建模的分析方法

數(shù)學(xué)建模分析是初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的重要保證。而數(shù)學(xué)建模分析效果的好壞，在很大程度上要依賴于分析方法的選擇。就目前而言，比較常用的分析方法有：

1. 圖像分析法。在實(shí)際中，有些問題涉及到復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系。針對這種情況，可就有關(guān)的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行作圖，以此來作為數(shù)學(xué)建模和分析的依據(jù)。與其它方法相比，圖像分析法具有直觀形象的特點(diǎn)，便于我們準(zhǔn)確地把握建模的要點(diǎn)，提高建模分析的有效性。

2. 列表分析法。有些數(shù)學(xué)問題不宜通過圖像的形式展示。但是出于整體分析的考慮，選用列表方式來進(jìn)行分析，往往更會收到意想不到的效果。而且，列表分析具有可靠的數(shù)據(jù)支撐，成為數(shù)學(xué)建模分析中比較常用的方法。

3. 關(guān)系分析法。尋求變量之間的關(guān)系，往往能找到問題的突破口和解決辦法。對此，可利用這種關(guān)系來建立數(shù)學(xué)模型，對初中數(shù)學(xué)建模進(jìn)行關(guān)系分析。

四、建模實(shí)例分析——以測量旗桿高度為例

《測量旗桿的高度》主要是讓學(xué)生掌握實(shí)地測量的方法，弄清建模的基本原理。測量旗桿的高度是數(shù)學(xué)建模應(yīng)用的基礎(chǔ)體現(xiàn)，是在相似三角形的判定和性質(zhì)的知識基礎(chǔ)上的拓廣和發(fā)展。為使本節(jié)課收到很好的效果，可分為兩個(gè)階段進(jìn)行。第一階段組織學(xué)生探究設(shè)計(jì)方案，發(fā)掘并掌握基本原理，明確每種測量方案的方法和需測量的數(shù)據(jù)、注意的事項(xiàng)等。第二階段劃分幾個(gè)小組，到戶外進(jìn)行實(shí)地測量。最后依據(jù)不同方案歸納總結(jié)，得出結(jié)論。在測量時(shí)，為避免集中測量，影響教學(xué)秩序，被測物也可以選定旗桿之外的物體，如：樹、路燈桿、籃球架的某一邊等。活動中應(yīng)鼓勵學(xué)生創(chuàng)新思路、另辟蹊徑。由于教材中把三種方法介紹得比較具體，所以第一階段教學(xué)程序采取自學(xué)型，引導(dǎo)學(xué)生使用比較法、分析歸納法進(jìn)行疑點(diǎn)剖析并養(yǎng)成合作交流習(xí)慣，提醒學(xué)生選擇最適宜解題方案，同時(shí)教師加強(qiáng)巡視、指導(dǎo)，保證自學(xué)順利進(jìn)行，隨時(shí)了解學(xué)生的掌握程度。學(xué)生懂得了相似三角形知識的基本結(jié)構(gòu)，使他們對知識的應(yīng)用才變得容易，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型注重了前后知識的聯(lián)系和對思維能力的培養(yǎng)。采取“自學(xué)——分析歸納——啟發(fā)式”教學(xué)法，尤其是第一階段，通過學(xué)生自學(xué)、生生討論、小組討論和師生討論、教師釋疑等環(huán)節(jié)完成教學(xué)任務(wù)，主要培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)能力和探究問題的能力。在此過程中，教師必須為課堂營造一種平等競爭、熱烈討論的和諧氛圍，最大限度地把課堂的時(shí)間、空間、提問、評價(jià)的權(quán)利還給學(xué)生。促使學(xué)生主動地去想、去說、去做，教師在引導(dǎo)學(xué)生的過程中，要注重滲透思想、方法，使學(xué)生在掌握知識的同時(shí)，提高綜合能力素養(yǎng)。

1. 教學(xué)實(shí)施

（1） 活動課題：利用相似三角形的有關(guān)知識測量旗桿（或路燈桿）的高度。

（2） 活動方式：分組活動、建立數(shù)學(xué)模型、全班交流研討。

（3） 活動準(zhǔn)備：有關(guān)用具（小鏡子、標(biāo)桿、皮尺、計(jì)算器等）;

（4） 教師準(zhǔn)備：各個(gè)學(xué)習(xí)小組提前確定好觀測者，量好觀測者的身高以及觀測者的眼睛離地面的高度等。

2. 教學(xué)活動過程

第一階段：自學(xué)具體的測量方法和要求

方法一：利用陽光下的影子（原理：相似三角形的直接運(yùn)用）。具體操作：每個(gè)小組選一名同學(xué)直立于旗桿影子的頂端處，其他同學(xué)分為兩組，一組測量該同學(xué)的影長，另一組測量同一時(shí)刻旗桿的影長。根據(jù)測量數(shù)據(jù)，你能求出旗桿的高度嗎？說說你的理由。（注意問題：在說明兩個(gè)直角三角形相似的理由時(shí)，要用到“太陽光是平行光線”的知識。對此，教師可以向?qū)W生做些解釋，可以把太陽光近似地看成平行光線。）需測量的數(shù)據(jù)——觀測者的身高、觀測者的影長、同一時(shí)刻旗桿的影長。

方法二：利用標(biāo)桿（原理：相似三角形的間接運(yùn)用）。具體操作：每個(gè)小組選一名同學(xué)作為觀測者，在觀測者與旗桿之間的地面上直立一根高度適當(dāng)?shù)臉?biāo)桿。觀測者適當(dāng)調(diào)整自己所處的位置，當(dāng)旗桿的頂部、標(biāo)桿的頂端、觀測者的眼睛恰好在一條直線上時(shí)，其他同學(xué)立即測出觀測者的腳到旗桿底部的距離以及觀測者的腳到標(biāo)桿底部的距離，然后測出標(biāo)桿的高。根據(jù)測量數(shù)據(jù)，你能求出旗桿的高度嗎？說說你的理由。（注意問題：使用這種方法時(shí)，觀測者的眼睛必須與標(biāo)桿的頂端和旗桿的頂端“三點(diǎn)共線”，標(biāo)桿與地面要垂直。）需測量的數(shù)據(jù)——觀測者的腳到旗桿底部的距離、觀測者的腳到標(biāo)桿底部的距離、標(biāo)桿的高度，觀測者的眼睛離地面的高度。

第二階段：根據(jù)各不同方案，到戶外分組實(shí)際測量。每組至少分別采用三種方法進(jìn)行測量（如果學(xué)生有其他的測量方法，可以實(shí)地測量）。全部測量完后，利用計(jì)算器分別計(jì)算出旗桿的高度，對比數(shù)據(jù)是否一致。分析討論并比較這幾種方案的優(yōu)劣，形成優(yōu)化意識，選擇最佳方案。

總之，在新課程標(biāo)準(zhǔn)的背景下，教師和學(xué)生是一個(gè)教學(xué)相長、授之以漁的過程。活動不僅培養(yǎng)了學(xué)生收集和使用數(shù)據(jù)的能力，還進(jìn)一步豐富了學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中的經(jīng)驗(yàn)。通過引導(dǎo)學(xué)生開展合作學(xué)習(xí)和研究性學(xué)習(xí)，有意識地培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和挑戰(zhàn)自我、超越自我的意志品質(zhì)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)豐富的人文價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生觀察、分析、歸納、概括、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識等綜合能力的發(fā)展。同時(shí)，加強(qiáng)初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)研究是一項(xiàng)十分系統(tǒng)的工程。要鞏固項(xiàng)目的基礎(chǔ)，提高項(xiàng)目的實(shí)效性，就要注意以下幾個(gè)問題：一是要明確認(rèn)識加強(qiáng)初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)與研究的必要性;其次，全面分析當(dāng)前初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的研究現(xiàn)狀;最后，科學(xué)把握加強(qiáng)初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)與研究的路徑。只有這樣，才能真正實(shí)現(xiàn)初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)又好又快地發(fā)展。

*本篇論文是馬鞍山市級課題《發(fā)展初中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的教學(xué)案例研究》（課題編號： MJG20066）的研究成果之一。