對2022年高考乙卷理科數學第20題的多角度探析

摘 要：本文從2022年高考乙卷理科數學解析幾何大題出發，對不同解法進行探析并點評其特征，之后進一步深入探析本題的背景，提出了若干推廣命題.

關鍵詞：高考乙卷理科數學;解析幾何;解法探析

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）22-0083-06

1 試題呈現

題目 已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸，y軸，且過點A0，-2，B32，-1兩點.

（1）求E的方程;

（2）設過點P1，-2的直線交E于M，N兩點，過點M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足MT=TH.證明：直線HN過定點.

所以直線過定點0，-2.

點評 本解法從橢圓的參數方程入手，首先用參數方程表示直線MN，因為點P在此直線上，所以可得到兩個恒等式，之后寫出直線NH方程，借助剛才得到的兩個恒等式，化簡了直線NH的斜率和縱截距的表達式，最后算出定值.

在運算中，分式約分時約去sinα-β2，因M，N是橢圓上不同的兩點，所以sinα-β2≠0.同時，在化簡時還約去了cosα-β2，驗證當cosα-β2=0時，點M，N關于原點對稱，聯立直線MN與橢圓方程4x2+3y2=12y=-2x，可得M32，-3，N-32，3，

T3-332，-3，H6-732，-3，所以直線NH的方程可寫為y-3=2333-6x+32，當x=0時，易知y=-2. 所以，結論仍然是成立的.

命題2 已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸，y軸，且過點A0，-2，B32，-1兩點. 設過點P1，-2的直線交E于M，N兩點，證明：2kAB=1kAM+1kAN.

證明 根據探析5的仿射變換，可將命題2轉化為命題1，故命題2成立. 注意，仿射前kAB與仿射后kA′B′的關系是kAB=32kA′B′，其它直線斜率仿射前后系數之比仍為32.所以，本質上命題2和命題1是相同的.

點評 命題1與2本質相同，均刻畫了在切點弦與割線的構型之下的斜率關系.如果在解決這道高考題目之前得到結論2kAB=1kAM+1kAN，設直線AN和MT交于點H′，2xTyT+2=xMyT+2+xH′yT+2，可得到2xT=xM+xH′，所以，可得點T是M，H′的中點.所以點H和H′重合，題目也順利獲得了解決.

探析7（深入推廣，探析一般情形）

命題3 如圖3，對圓x2+y2=r2，Px0，y0是圓外任意一點，過點P作圓的切線，切點為A，B，并且過點P作圓的割線，交圓于M，N兩點，線段MN與線段AB交于點Q，則有關系1PM+1PN=2PQ.

證明 根據探析5，可得N，Q，M，P為調和點列，所以NQQM=NPPM.設NQ=x，QM=y，MP=z，已知比例式為xy=x+y+zz，

Px0，y0是橢圓外任意一點，過點P作橢圓的切線，切點為A，B，并且過點P作橢圓的割線，交橢圓于M，N兩點，線段MN與線段AB交于點Q，則有關系1PM+1PN=2PQ.

證明 根據仿射變換，設仿射變換前任意一點坐標為x，y，仿射變換后對應點的坐標為x′，y′，建立仿射變換x′=xa，y′=yb， 可將橢圓仿射為x′2+y′2=1.

點評 命題3，4為命題5奠定了基礎，命題5將調和點列這種線段的比例數量關系逐漸轉化為斜率表達式，斜率本質是用來刻畫幾何中的位置關系的關鍵量.

命題5 對橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0，Px0，y0是橢圓外任意一點，過點P作橢圓的切線，切點為A，B，并且過點P作橢圓的割線，交橢圓于M，N兩點，線段MN與線段AB交于點Q，則有關系1xP-xM+1xP-xN=2xP-xQ.

證明 作N，Q，M，P在x軸上的正射影，可知其正射影仍然為調和點列，故1xP-xM+1xP-xN=2xP-xQ成立.

命題6 對橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0，

Px0，y0是雙曲線外一點，當過點P切線存在且有2條時，過點P作雙曲線的切線，切點為A，B，并且過點P作雙曲線的割線，交雙曲線于M，N兩點，直線MN與線段AB交于點Q，則有關系1PM+1PN=2PQ，1kAM-kAP+1kAN-kAP=2kAQ-kAP成立.

命題8 對拋物線y2=2pxp>0，Px0，y0是拋物線外任意一點，過點P作拋物線的切線，切點為A，B，并且過點P作拋物線的割線，交拋物線于M，N兩點，直線MN與線段AB交于點Q，則有關系1PM+1PN=2PQ，1kAM-kAP+1kAN-kAP=2kAQ-kAP成立.

4 進一步思考與總結

全國乙卷這道圓錐曲線問題以深刻的背景，清晰的表達，向我們呈現了一個圖形鮮明，解法多樣，層次多樣的數學問題. 本題深刻地、綜合地考查了學生直觀想象、數學運算、邏輯推理等數學核心素養，有較強的區分度. 在平常的學習中，要特別注意對于背景結論的挖掘與反思，不能只停留在表面階段. 從幾何到代數，再到算理，橫向縱向多維比較才能真正做到通一類、會一類，研究透徹一類數學問題. 今后的教學應以數學問題為導向，深入挖掘，多面剖析，才能達到真正理解數學問題，提高數學能力的目的.

參考文獻：

[1]金毅.圓錐曲線的思想方法[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2021.

[2] 曹玨贇，葉中豪.調和四邊形及其應用[J].中等數學，2016（01）：2-7.

[責任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡介：金毅（1992-），男，碩士，從事中學數學教學研究.