2022年浙江卷第22題證法賞析

摘 要：2022年浙江高考卷的壓軸題以基本的問題為引導，以常用的方法為手段構造函數，并利用這些函數的性質和特點進一步研究問題，對考生的思維水平提出較高的要求，本文從不同的角度對其進行分析.

關鍵詞：導數壓軸題;構造;比值代換;放縮;分析法

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）22-0079-04

導數在高考中既是熱點，又是難點，導數壓軸是近幾年浙江高考命題的一個特點，此類試題常涉及對考生邏輯推理、數學運算、數據分析等數學核心素養的考查.

1 試題呈現

試題 （2022年浙江卷第22題）設函數f（x）=e2x+lnx（x>0）.

（1）求f（x）的單調區間;

2 試題解析

2.2 第（2）問解析

證法1 （1）因為過a，b有三條不同的切線，設切點為xi，fxi，i=1，2，3，所以過該切點的切線方程fx-b=f ′xx-a有3個不同根，該方程可整理為1x-e2x2x-a-e2x-lnx+b=0.

綜上，原不等式得證.

證法2 （1）因為過a，b有三條不同的切線，設切點為xi，fxi，i=1，2，3，所以過該切點的切線方程fx-b=f ′xx-a有3個不同的根.

綜上，原不等式得證.

點評 （2）題的①構造切線方程，根據此方程有3個不同的根去證明不等式成立;（2）的題②用構造函數、分析法和導數去求證不等式成立，且上述兩證法都用到了比值代換轉化法.

代換法是解答高中數學習題的重要方法之一，在解題中有著廣泛應用，通過對相關的數學表達式進行巧妙代換，能更好地揭示出相關參數之間的規律，再積極聯系所學知識從而能實現順利求解.

參考文獻：

[1]王平.淺談高中數學解題中代換法的應用[J].數理化解題研究，2021（25）：45-46.

[責任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡介：鐘建新（1978.3-），男，浙江省上虞人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.