2022年全國甲卷導(dǎo)數(shù)題的多解、變式與溯源

張君　李武學(xué)

摘 要：從構(gòu)造函數(shù)與減元的角度給出2022年高考甲卷導(dǎo)數(shù)壓軸題的多種解法，并給出該考題的變式以及考題溯源.

關(guān)鍵詞：2022年數(shù)學(xué)高考;導(dǎo)數(shù)題;一題多解;考題溯源

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2022）22-0075-04

1 試題呈現(xiàn)

試題 （2022年高考全國甲卷21題）已知函數(shù)fx=exx-lnx+x-a.

2 試題分析

這道題綜合考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，再利用單調(diào)性與極值求給定條件下參數(shù)的取值范圍，在此基礎(chǔ)上研究?jī)蓚€(gè)零點(diǎn)之間的關(guān)系，是典型的極值點(diǎn)偏移問題.試題起點(diǎn)較低，絕大多數(shù)學(xué)生都可以拿分，但落點(diǎn)很高，第二問難度大，需要考生熟練掌握函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，以及研究有關(guān)性質(zhì)的基本方法和工具，并達(dá)到靈活運(yùn)用的程度.對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查也占很大成份，特別是對(duì)分類計(jì)論思想和轉(zhuǎn)化思想的要求很高，只會(huì)死記硬背、按套路做題不會(huì)變通的考生是做不下去的.

極值點(diǎn)偏移問題的解題大方向主要有兩個(gè)：構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)和減少變量轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題.

點(diǎn)評(píng) 極值點(diǎn)偏移問題主要有兩種基本類型，即x1x2大于（或小于）常數(shù)a，以及x1+x2大于（或小于）常數(shù)a.構(gòu)造函數(shù)gx=fax-fx（或gx=fa-x-fx）是解這類題的一種常用方法，這種解法的目的是得到不等式f1x24 變式

由對(duì)數(shù)平均不等式x1x22.于是得到如下的變式題：

本題是極值點(diǎn)偏移問題，由對(duì)數(shù)平均不等式可知lnx1-lnx2x1-x2<1x1x2=1.

參考文獻(xiàn)：

[1]鄧啟龍.函數(shù)極值點(diǎn)偏移和拐點(diǎn)偏移問題的探究[J].數(shù)理化解題研究，2022（13）：37-39.

[2] 黃小妹.如何破解極值點(diǎn)偏移問題[J].數(shù)理化解題研究，2021（04）：7-8.

[3] 李鴻昌.一道新高考導(dǎo)數(shù)壓軸題的解法探究[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2021（15）：22-23.

[責(zé)任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡(jiǎn)介：張君（1978.10-），男，四川省宣漢人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

李武學(xué)（1966.5-），男，四川省沐川人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.