一道解析幾何模考試題探究與推廣

摘 要：本文以2022年深圳市高三調研考試解析幾何試題為例，談一談該試題的解法探究以及結論推廣.

關鍵詞：一題多解;結論推廣;圓錐曲線

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）22-0061-04

1 試題呈現

題目 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）經過點A（2，0），且點A到C的漸近線的距離為2217.

（1）求雙曲線C的方程;

（2）過點P（4，0）作斜率不為0的直線l與雙曲線C交于M，N兩點，直線x=4分別交直線AM，AN于點E，F. 試判斷以EF為直徑的圓是否經過定點，若經過定點，請求出定點坐標;反之，請說明理由.

2 解法探究

2.1 第（1）問解析

所以以EF為直徑的圓經過定點（1，0）和（7，0）.

3 結論延伸

細品解題過程，筆者感覺第（2）問的解答耐人尋味，似乎隱藏一個定點的結論，于是筆者思考，對于一般形式的雙曲線，上述問題該如何表示？本例中的定點P、以EF為直徑的圓所過的定點、以及a，b之間是否存在著內在聯系？如果背景的圓錐曲線換成橢圓、拋物線，是否又有類似的結論呢？基于上述思考，筆者得到如下結論：

結論1 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右頂點為A，過點P（λ，0）（λ>a）的直線l1與雙曲線C交于M，N兩點，直線AM，AN分別與直線l2：x=λ交于E，F兩點，則以EF為直徑的圓過定點T（λ±baλ2-a2，0）.

結論2 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右頂點為A，過點P（λ，0）（-a<λ

證明 橢圓結論的證明過程與雙曲線類似，這里不再給出.

結論3 已知拋物線C：y2=2px（p>0）的頂點為O，過點P（λ，0）（λ>0）的直線l1與拋物線C交于M，N兩點，直線AM，AN分別與直線l2：x=λ交于E，F兩點，則以EF為直徑的圓過定點T（λ±2pλ，0）.

結論4 已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為F，過點P（λ，0）（λ>0且λ≠p2）的直線l1與拋物線C交于M，N兩點，直線FM，FN分別與直線l2：x=λ交于E，G兩點，則當0<λp2時，以EG為直徑的圓過定點T（λ±（λ-p2）2pλ，0）.

圓錐曲線中的定點定值問題，可謂一花一世界，一樹一菩提，在解題后，若能夠靜心思考，潛心研究，必能有所收獲.

參考文獻：

[1] 唐洵.揭秘直線與圓錐曲線4大熱點問題[J].高中數理化，2014（21）：9-11.

[2] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2020年修訂版）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[責任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡介：唐洵（1988-），男，福建省福州人，中學一級教師，從事數學教學研究.