一道2021年安徽省冬季聯賽題的解法探究與推廣

摘 要：文章通過對2021年安徽省冬季聯賽第22題的解法探究，得到了相關研究對象在運動變化過程中保持的規律性及其變式推廣，并由試題的解答與變式得出了關于圓錐曲線的一個統一結論，從而揭示了問題的本質和規律.

關鍵詞：冬季聯賽;解法探究;共軛弦性質;圓錐曲線

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）22-0057-04

1 試題呈現

題目 （安徽省示范高中培優聯盟2021年冬季聯賽（高二）第22題）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的長軸長為42，離心率為32.

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）已知斜率為12的直線l與橢圓C交于兩個不同的點A，B，點P的坐標為2，1，設直線PA與PB的傾斜角分別為α，β，證明：tanα+tanβ=0.

試題第（1）問考查了橢圓的長軸、離心率等簡單的幾何性質，體現了試題的基礎性;第（2）問以圓錐曲線共軛弦性質為背景設置了與動直線有關的定值問題，綜合性強，對學生邏輯推理、數學運算、直觀想象等素養有較高要求，值得深入探究.

2 解法探究

點評 證法1把待證問題轉化為求證兩直線PA，PB斜率之和為0，從而幾何問題通過坐標運算轉化為代數問題，既展示了坐標法的魅力，又體現了數形結合的思想.繼續探究，如圖1，發現當Δ=0時，t=-2或t=2，此時直線l與橢圓C相切，點P坐標為-2，1或2，-1，直線l的斜率與橢圓C在點P處的切線的斜率互為相反數，這一發現為進一步探究試題本質提供了思路.圖1

點評 證法2從直線PA與PB的傾斜角入手，自然聯系到應用直線的參數方程解題，亮點在于對坐標的處理，借助參數的意義和三角恒等變換，整個運算過程一氣呵成，簡潔明了.

由于平移變換后點P的坐標變為P′0，0，故kP′A′，kP′B′是方程①的兩個根，由韋達定理知kP′A′+kP′B′=04-16m=0，由于平移變換下不改變直線的斜率，所以kPA+kPB=0.

點評 證法3通過平移變換巧妙地把橢圓上的定點P轉化為坐標原點P′，變換后兩直線P′A′，P′B′的斜率恰好是點A′，B′的坐標比值，從而通過齊次化處理，把兩直線斜率之和問題轉化為韋達定理根與系數的關系，解答簡潔明了，相比通性通法中運算量大的特點，平移變換后齊次化處理很大程度上避免了繁雜的運算，是解答過定點兩條動直線斜率之積、之和問題的利器.

點評 證法4“曲線系方程法”相比前面證法，站在更高的觀點，為我們解決這類解析幾何問題提供了新視角，但也有一定的局限性，在具體的解題實踐中，還需根據自身實際，選擇適當的方法.

3 推廣探究

著名數學教育家G·波利亞說“分解和重組是思維的重要活動”，因此我們有必要深入到試題的細節中去，通過逆向變換，亦或者改變曲線背景提出新的問題，以探究試題內在規律，培養學生思維品質.

變式1 已知A，B為橢圓C：x28+y22=1上的兩個動點，點P2，1，若直線PA的斜率與PB的斜率互為相反數，證明直線AB的斜率為定值.

推廣2 設點Px0，y0是對稱軸平行于坐標軸的定圓錐曲線（包括圓、橢圓、雙曲線和拋物線）C上一定點，A，B是C上兩個動點，若直線PA，PB的斜率互為相反數，則直線AB的斜率存在時為定值，等于曲線C在點P處切線的斜率的相反數.

（1）當曲線C是有心圓錐曲線時，設方程統一形式為λx2+μy2=1（λμ≠0），則kAB=λx0μy0y0≠0;

（2）當曲線C是拋物線時，可設C：y2=2px（p≠0），則kAB=-py0或C：x2=2pyp≠0，則kAB=-x0p.

推廣2也稱為圓錐曲線共軛弦性質，以其為背景命制的高考試題和競賽試題屢見不鮮，像這樣通過挖掘改造著名數學問題來命題已成為近年高考數學圓錐曲線壓軸題命制的新趨勢，這也啟示一線教師在教學中應充分利用這些素材，引導學生探究試題解法，剖析試題本質，從而培育學生的思維品質，落實學科素養.

參考文獻：

[1]波利亞，涂泓譯.怎樣解題——數學思維的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2007.

[責任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡介：欒功（1982.10-），男，甘肅省隴西人，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.

基金項目：南寧市教育科學“強基計劃，拔尖人才培養”專項課題“強基計劃背景下高中數學學科拔尖人才培養模式研究——基于問題提出的視角（項目編號：2021QJ010）.