2022年高考數(shù)學北京卷壓軸題的自然解法

摘 要：2022年高考數(shù)學北京卷壓軸題（即第21題，屬組合數(shù)學范疇）以數(shù)列為載體，考查學生對新情境新知識的理解，讓學生在閱讀數(shù)學符號和認識新概念的基礎上，即時學習并創(chuàng)新應用，體現(xiàn)了獲取新知識的能力和創(chuàng)新意識.文章給出了一種自然解法.

關鍵詞：2022年高考數(shù)學北京卷;壓軸題;組合數(shù)學;自然解法

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）22-0042-03

題目 （2022年高考數(shù)學北京卷第21題）己知Q：a1，a2，…，ak為有窮整數(shù)數(shù)列.給定正整數(shù)m，若對任意的n∈{1，2，…，m}，在Q中存在ai，ai+1，ai+2，…，ai+j（j≥0），使得ai+ai+1+ai+2+…+ai+j=n，則稱Q為m-連續(xù)可表數(shù)列.

（2）若k=1，則數(shù)列Q：a1只可能是1-連續(xù)可表數(shù)列;若k=2，且數(shù)列Q：a1，a2為m-連續(xù)可表數(shù)列，則m≤3（因為由題設中的表述方法，最多只能表示出a1，a2，a1+a2共3個兩兩互異的數(shù)）;若k=3，且數(shù)列Q：a1，a2，a3為m-連續(xù)可表數(shù)列，則m≤3（因為由題設中的表述方法，最多只能表示出a1，a2，a3，a1+a2，a2+a3，a1+a2+a3共6個兩兩互異的數(shù)）.

同理，可證得一般的結(jié)論：若有窮整數(shù)數(shù)列Q：a1，a2，…，ak為m-連續(xù)可表數(shù)列，則m≤k+（k-1）+（k-2）+…+1=12k（k+1）.

①若數(shù)列Q的六項均是自然數(shù)，由題設a1+a2+a3+a4+a5+a6<20，可得數(shù)列Q的連續(xù)項和均小于20（沒有表示出20），與題設矛盾！所以數(shù)列Q中有負項且負項的項數(shù)是1（若存在兩個負項，則數(shù)列Q的連續(xù)項和表示中會少兩個正整數(shù)，至多能表示21-2=19個正整數(shù)，不滿足題設）.

若數(shù)列Q的項中還有0，則數(shù)列Q的連續(xù)項和表示中會少兩個正整數(shù)（負項與0），不滿足題設，因而數(shù)列Q的項是一項負五項正（且這五個正項兩兩互異）.

還可得：數(shù)列Q的連續(xù)項和表示中除負項這個和外組成的集合是{1，2，3，…，20}.因為其中最大的是20，所以20的連續(xù)項和表示是最多的連續(xù)若干個正項之和（即對數(shù)列Q的連續(xù)正項全部求和）.

評注 這道壓軸題的解法就是先找到切入點“數(shù)列Q：a1，a2，a3，a4，a5，a6的項滿足一負五正且負項在首或尾（可不妨設負項在首）”，進而可得數(shù)列Q的所有正項之和是20，其連續(xù)項和表示中除負項這個和外組成的集合是{1，2，3，…，20}.接下來，消化這一條件就可證得欲證的結(jié)論成立.

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2020年修訂版）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[責任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡介：甘志國（1971-），男，湖北省竹溪人，碩士，中學特級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

基金項目：北京市教育學會“十三五”教育科研滾動立項課題“數(shù)學文化與高考研究”（項目編號：FT2017GD003）.