從一道聯考題談不等式恒成立問題的解題策略

摘 要：文章對2021年11月份山西省三重教育大聯考導數題予以研究，從六個角度探析含參不等式恒成立求參數范圍問題，給出九種解法，并歸納整理出求該類問題的解題策略.

關鍵詞：不等式恒成立;解題策略;一題多解

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）22-0029-04

縱觀近些年的高考和各級各類模擬考，不等式恒成立求參數范圍問題越來越受命題者的青睞，已成為常考常新的問題，因此該類問題是高考備考的一大重點.從內容來看，該類試題的交匯面廣，綜合考查函數、導數、不等式等方面的知識;從考查能力角度來看，該類試題不僅可以很好地考查考生的“四基”（基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗），還能考查考生的關鍵能力和數學核心素養（數學抽象、邏輯推理、數學建模、數據分析、直觀想象、數學運算），是展示考生能力的一個很好的平臺.但是從實際的教師教學和學生掌握情況來看，該類問題又是復習備考的一大難點.如何有效突破這一重點、難點，成為廣大一線教師在復習備考中亟待解決的一大課題，現筆者結合自身教學實踐與研究，以2021年山西省三重教育11月高三大聯考導數題為例，闡述如何突破該類問題的解題策略.

分析 該題是2021年山西省三重教育11月大聯考理科第20題，第（1）問屬于常規問題，本文不再贅述，重點論述第（2）問，此問是含有參數的不等式恒成立問題，本小題綜合性強、解法靈活、難度較大，主要考查了利用導數研究函數的單調性，含參不等式恒成立求參數范圍等知識，考查了學生分析問題、解決問題的能力及轉化與化歸等數學思想，體現了邏輯推理、數學運算等數學核心素養.本文嘗試對本題的第（2）問從不同的角度予以思考，給出不同的解法.

2 解法探究

2.1 轉化為函數最值法

對于一些含參不等式恒成立問題，將不等式朝著有利于通過導數判斷單調性的方向變形，將不等式整理為一側為常數（一般為零）的形式，根據題目的量詞（或），將問題轉化為函數最值與常數（一般為零）的不等關系，這是處理不等式問題最基本的通法之一.

2.2“切線”放縮法

一些含參不等式中，將指數函數、對數函數綜合考查，尤其是與ex，lnx有關的超越函數問題，若直接求導找零點（多數情況下是隱零點），往往復雜繁瑣，此時若能巧妙運用一些“切線不等式”進行放縮，將復雜的超越函數轉化為簡單函數（以直代曲），常常可以起到化繁為簡的效果.牢記兩個重要的“切線不等式”：①ex≥x+1（x∈R，當且僅當x=0時等號成立）;②lnx≤x-1（x∈R，當且僅當x=1時等號成立），這兩個不等式是“切線放縮”法的基礎.

2.3 “同構”法

有些題中的不等式經適當整理變形后，可以表示成兩側結構相同的形式，如F（x）≥0等價變形為f（g（x））≥f（h（x）），利用這個結構式構造對應函數f（x），進而利用所構造函數f（x）的性質（單調性、奇偶性、對稱性等）解題的方法，我們通常叫做同構法.常見的同構形式有：xex=elnx+x，exx=ex-lnx，xex=elnx-x，x+lnx=ln（xex），x-lnx=ln（exx）等.

2.4 必要性“探路”法

對一類函數不等式恒成立問題，可以通過取函數定義域中某個數，縮小參數的討論范圍，獲得初步的參數范圍，之后在此范圍內繼續討論進而解決問題.在這個定義中，“取函數定義域中某一個數”，便相當于尋找一個能使題意成立的必要條件，而題目本身要尋求的參數的取值范圍（或最值），相當于是使題意成立的充分必要條件.因此，在找到必要條件的基礎上，只需要證明這個條件反過來能推出題意，即證明這個條件也是滿足題意的充分條件.這樣，充分性和必要性都成立，那么所求出的范圍必然是題目所尋求的參數的準確取值范圍，這便是必要性“探路”法.

2.6 反函數法

若函數m（x）與函數n（x）互為反函數，則兩函數圖象關于直線y=x對稱，于是我們不難明白不等式m（x）≥n（x）等價于m（x）≥x（或x≥n（x））.我們又知道同底的對數函數與指數函數互為反函數，所以在解決一些同時含有指數和對數的不等式問題時，若我們能將不等式變形為m（x）≥n（x）的形式，則可以借助m（x）≥x（或x≥n（x））解題，減少運算，化繁為簡.

參考文獻：

[1] 楊瑞強.指對跨階“同構法”求解不等式恒成立題[J].數理化解題研究，2021（34）：74-75.

[責任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡介：俞國梁（1982-），男，江西省婺源人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.