一分為二，圖像交點

李昭平

一、題目【2022年高考全國乙卷理科第21題】

已知函數f（x）=ln（1+x）+axe-x，a∈R.

（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程;

（2）若f（x）在區間（-1，0），（0，+∞）各恰有一個零點，求a的取值范圍.

二、分析

本題第一問求當a=1時，具體曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程，屬于基本問題，利用y-f（x0）=f′（x0）（x-x0）即可. 第二問則是含有參數a的對數函數、指數函數和正比例函數的復合型函數問題. 顯然，若直接對f（x）求導，利用導數研究其圖像與x軸在區間（-1，0），（0，+∞）各恰有一個交點，將會涉及到求f′（x）=0的實根和對參數a的討論，比較復雜.

這讓我們聯想到：能否直接將方程ln（1+x）+axe-x=0“一分為二”成兩個函數，即exln（1+x）=-ax，利用函數y=exln（1+x）（定曲線）和y=-ax（動直線）的圖像的交點個數來處理呢？基于這種想法，得到下述解答.

三、解答

（1）函數f（x）的定義域是（-1，+∞）. 當a=1時，f（x）=ln（1+x）+xe-x，所以切點為（0，0）.

因為f′（x）=+（1-x）e-x，所以f′（0）=2.

故曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=2x.

（2）函數f（x）=ln（1+x）+axe-x的定義域是（-1，+∞）. 由ln（1+x）+axe-x=0得到exln（1+x）=-ax.

令g（x）=exln（1+x），h（x）=-ax.

函數f（x）在區間（-1，0），（0，+∞）各恰有一個零點，即函數g（x）和函數h（x）的圖像在區間（-1，0），（0，+∞）各恰有一個交點.

g′（x）=ex[ln（1+x）+]，再令？漬（x）=ln（1+x）+，x>-1.

則由？漬′（x）=-=0解得x=0. 在（-1，0）內？漬′（x）<0，？漬（x）單減;

在（0，+∞）內？漬′（x）>0，？漬（x）單增.

因此？漬（x）≥？漬（0）=1，g′（x）>0，g（x）單增，

且g（0）=0，g（x）的圖像如圖1所示.

g′（0）=1，g（x）的圖像在（0，0）處的切線是y=x.

要保證曲線y=g（x）與直線y=h（x）在區間（-1，0），（0，+∞）各恰有一個交點，只要滿足-a>1，a<-1. 故a的取值范圍是（-∞，1）.

注意：將方程ln（1+x）+axe-x=0“一分為二”成exln（1+x）=-ax處理，比“一分為二”成=-或a=-處理簡單得多.

四、結論

由上述解答，得到以下結論：設f（x）=g（x）-h（x），則f（x）的零點？圳f（x）=0的實數根？圳g（x）與h（x）圖像交點的橫坐標. 其中y=g（x）和y=h（x）是定曲線（含直線）或動曲線（含直線）.

對于關于含有參數的函數f（x），要研究其單調性、極值、最值、圖像、零點等等，往往涉及f（x），其導函數f ′（x），或f ′（x）的導函數f ′′（x）的零點問題，或不等式問題，利用“一分為二，圖像交點”的思想方法……