例析v-t圖像求解運動學問題

摘 要：本文從四道例題入手，通過常規解法和v-t圖像解法的對比分析，幫助學生深刻理解v-t圖像解法的優勢所在，并歸納利用此種解法解決問題的一般步驟.

關鍵詞：常規解法;v-t圖像;運動學

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）22-0125-03

v-t圖像是運動學中最常見的圖像，它在描述物體運動方面具有不可替代的作用.因此在處理某些與物體運動相關的復雜問題時，我們可以轉換思維，作出物體運動的對應的v-t圖像.觀察圖像中的斜率（描述加速度的大小和方向）、面積（描述運動位移的大小和方向）、截距、交點等相關物理量，并結合相應的數學運算即可較為容易的獲取正確的結果，從而可以免除復雜的物理分析過程.

例1 如圖1所示，水平行駛的汽車通過長度為20m的斜坡AB后繼續水平行駛，整個過程中，車廂底板上的塑料箱相對于車廂前端向后滑行的距離為d（塑料箱與車廂壁無接觸），汽車上坡過程中，塑料箱的加速度a=15μg（μ為塑料箱與車廂底部的動摩擦因數），整個過程中汽車的速率始終為v0，不考慮車長的影響，重力加速度g取10m/s2，則下列說法正確的是（）.

A.若v0越大，則d越大

B.若v0越大，則d越小

C.若v=20m/s，d=0.6m，則μ=0.5

D.若v=20m/s，d=0.6m，則μ=0.6

解析

方法一 常規解法（略）

方法二 v-t圖像解法

以地面為參考系，汽車做勻速直線運動，塑料箱在斜面上做初速度與汽車速度相同、加速度a=15μg的勻減速運動，運動到水平面后，在車廂滑動摩擦作用下做加速度a=μg的勻加速運動，直至與汽車共速，相對運動過程結束，設汽車速度為v0，做兩者v-t圖像如圖2所示，其中t0表示汽車在斜面上運動的時間t0=Lv，三角形面積代表汽車與塑料箱間的相對位移，當車速v0增大時，汽車在斜面上運動時間t0減小，在v-t圖像中BC向左移動，兩者間的相對位置由三角形ABC面積變為三角形ADF，可以容易看出相對位移d變小，故選項A錯誤，B正確.

設運動到斜面頂端塑料箱的速度為v1，v1=v-at=v-15μgt0，其中t1=1.2t0故三角形ABC面積d=12（v-v1）·t1=3μgL225v2，帶入題干數據可得μ=0.5，故選項C正確，D錯誤.

點評 本題還可以以車為參考系，畫出塑料箱在運動過程中的v-t圖像，塑料箱在斜面上相對汽車向后做勻加速直線運動，在水平面上先相對汽車做勻減速直線運動，最終相對汽車相對靜止，如圖3.△AOB面積代表塑料箱相對汽車向后運動的位移，當v增加時，相對汽車加速運動時間變小，△AOB面積變小，相對位移d減小.

例2 如圖4所示，光滑水平地面上有一長度為L=2.4m、質量為M=2kg的長木板，木板左端有一質量為m=1kg的物塊（可看作質點），物塊與木板之間的動摩擦因數為μ=0.2.初始時物塊和木板均靜止，給物塊施加一大小為F=5N、方向水平向右的拉力，重力加速度g=10m/s2，若保證物塊能夠滑離木板，求拉力作用的最短時間.

如圖5，為保證物塊能夠滑離木板應滿足S△OAB≥L，即S△OAB=S△AOC+S△ABC=12Δv（t0+t1-t0）=53t20，代入數據可得t0≥1.2s，與第一種解法結果一致.

點評 解法一是此類問題最常見的解法，通過對運動過程的分析列取相應的四種不同的方程.在實際教學中發現，部分學生無法徹底的分析清楚物理過程，部分學生能夠弄清物理過程但在列取方程的過程中不知如何下手，因此出現了很多失分的情況.v-t圖像的解法利用直線相交的數學關系計算求解，過程簡單容易理解，可以很好的提升學生解題的準確率.

例3 A、B兩車相距x=23m，A車在后，B車在前.計時開始時，A車正以2m/s的速度向右做勻加速運動，B車以10m/s的初速度向右做勻減速運動，兩車加速度大小均為a=2m/s2，求：

（1）A車追上B車前，兩車的最大距離;

（2）A車追上B車所用的時間

做A、B物體運動的v-t圖像，如圖7，根據圖像可以容易看出5s后B車靜止.圖線與橫軸圍成圖形面積表示物體運動位移，所以0-5s時間內，A車位移sA=12×5×10=25m，B車位移sB=（2+12）2×5=35m，又因sB+x=25m+23m=48m>35m，B車先停止，A車后追上.設追上時間為t0 ，對應物體的速度v=2+2t0，該過程B物體位移sB=12（2+2+2t0）t0=t20+2t0為使A車追上B車，應滿足位移關系sA+x=sB，代入數值可得t0=6s或t0=-8s（舍去）.

例4 在足夠大的空間里有一沿x軸方向周期性變化的勻強電場，如圖8（b）所示.規定沿+x方向為電場正方向如圖8（a）.一質量為m，電荷量為q的正粒子，t=0時刻在電場中x軸負半軸上的A點由靜止釋放.電場中經過n個周期正好到達y軸，求A點到y軸的距離.不計粒子重力.

粒子在每個周期的前半周期加速度大小a1=3qE0m，粒子在每個周期的后半周期加速度大小a2=qE0m，做粒子運動的v-t圖像如圖9所示.通過觀察圖像可知前n個周期內運動帶電粒子運動的總位移應該等于各個周期內圖形面積的總和，同時還能發現帶電粒子相鄰兩個周期內運動的位移差等于圖形中四邊形ABCD的面積.

點評 帶電粒子在交變電場中運動時，由于電場變化具有一定的周期性，因此粒子的運動會呈現一定的規律.通常情況下需要列舉出前幾周期的位移和速度，通過觀察物理量的變化，歸納出運動的規律，最終利用規律進行計算求解，此種解法要求學生具有較好的的計算能力和較強的歸納總結能力，在實際的教學中發現存在較高的錯誤率.利用v-t圖像處理此問題時，可以直觀的呈現出物體的速度和位移的變化，可以降低思維的難度，提高解題的正確率.

綜上所述，用v-t分析物理問題時可以將物理過程形象且直觀的呈現出來，有助于學生明確物體的運動過程，還可以將物理方程變成比較簡單的數學運算，有助于節省學生時間并提高解題的準確率.因此在日常處理一些比較繁瑣的運動學相關問題時可以考慮做出對應的v-t圖像，再結合物理量間的函數關系進行分析求解.

參考文獻：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書·物理[M].北京：人民教育出版社，2010.

[責任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡介：謝汝成（1986.1-），男，本科，中學一級教師，從事高中物理教學研究.