多根無限長恒定電流形成的磁力線方程研究

郭勇　姜付錦

摘 要：本文先根據磁力線的定義式推導出兩根、四根、n根無限長直線電流形成的磁力線方程，然后由柯西——黎曼方程推導出n根無限長直線電流形成的磁力線方程，最后數值模擬了幾種有代表性的磁力線分布圖.

關鍵詞：無限長直線電流;磁力線方程;柯西——黎曼方程;數值模擬

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）22-0122-03

1 問題

四根均通有恒定電流的長直導線1、2、3、4都垂直于x-y平面，它們與x-y平面的交點是邊長為2a、中心在原點O的正方形的頂點，各導線中電流的方向已在圖1中標出.

已知真空磁導率為μ0.試分析空間磁力線方程是怎樣的？是如何分布的？

2 磁力線方程推導

2.1 兩根無限長電流形成的磁力線方程如圖2所示，設兩根導線的位置坐標分別是（-a，0），（a，0），電流大小分別為I1，I2，且它們的方向相同，都垂直于紙面向里.根據無限長直線電流在周圍產生的磁感應強度公式B（r）=μ0I2πr.可知x-y平面內某點p（x，y）的磁感應強度為

若I1=I2，則磁力線方程是到兩個定點（直線電流）的距離之積是一個定值.

若I1=-I2，則磁力線方程是到兩個定點（直線電流）的距離之商是一個定值.

2.2 四根直線電流形成的磁力線方程

設根四導線的位置坐標分別是（-a，a），（a，a），（a，-a），（-a，-a），電流大小分別為I1，I2，I3，I4，且它們的方向相同，都垂直于紙面向里.根據無限長直線電流在周圍產生的磁感應強度公式B（r）=μ02π·Ir.可知x-y平面內某點P（x，y）的磁感應強度為

上式中C1為某一個積分常數，這個曲線簇就是本文開始問題的答案.

2.3 n根直線電流形成的磁力線方程

通過以上分析可以現，多根無限長通電直線形成的磁力線方程既可以用磁力線的微分方程推導，也可以由柯西——黎曼方程得到.它們形成的磁力線方程與多根無限長均勻帶電直線的等勢線方程具有類似性，若它們的電流大小相等、方向相同，則磁力線方程是到這些電流位置的距離的乘積是一個定值的曲線簇——卡西尼卵形曲線.限于篇幅，這里不再贅述，感興趣的讀者可以自行推證.

參考文獻：

[1]程若磊.無限長均勻帶電線與非接地帶電圓柱導體系統的等勢線與電場線方程[J].物理通報，2013（8）：22-23.

[2] 盧俊強，翟峰.平面磁場的磁感應線 [J].物理與工程，2019（29）：31-33.

[3] 姜付錦，吳珊.論卡西尼曲線與無限長均勻帶電直線系統等勢線的關系[J].物理通報，2017（6）：56-58.

[責任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡介：姜付錦（1978.9-），男，湖北省襄陽人，中學高級教師，從事高中物理教學研究.

基金項目：本文系湖北省教育學會教師教育專業委員會2020年課題《數值模擬在物理問題研究中應用研究》階段性成果之一，課題編號：HBJSJY2020-027.