例析離心率問題

摘 要：本文將圓錐曲線的離心率問題按知識點進行分類，對同類型的題目給出了類似的、相對簡單的解法，并進行了深層次的剖析，目的是使學生能迅速將問題歸類、抓住關鍵，找到數學本源，從而由點到面突破，培養學生的數學核心素養.

關鍵詞：離心率;范圍;特殊三角形;平行四邊形;圓

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）22-0045-03

圓錐曲線離心率問題通常是指橢圓和雙曲線的離心率問題，一般包含兩類：一是求離心率值;二是求離心率的取值范圍.求解離心率，一般是構造參數a，c或a，b等式或者不等式，找出它們的關系，從而計算.離心率問題難點不在求解，而在找等量關系或者不等量關系，也就是找出題目中的數學本源.如何能在最短的時間內，找到關系，最有效的辦法是從數學本源出發，研究命題方向和結合的知識點，發現規律，探究方法，形成一系列解題策略.

1 特殊三角形與離心率

這類題目通常利用特殊三角形的性質來找參數關系，用到的性質一般有邊角相等、三角形相似、面積公式、正余弦定理、角平分線性質、高的性質、中線的性質等，解題方法可用代數法也可用幾何法，通常數形結合，用幾何法計算量較小，運算相對簡單.

例1 雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦點分別為F1，F2，離心率為e，過點F2的直線交雙曲線的右支于A，B兩點，若△F1AB是不以點F1為直角頂點的等腰直角三角形，則e2等于.

解析

因為頂點A，B在雙曲線上，由雙曲線的定義，可得到含四個參量的兩個等式，結合等腰直角三角形這個條件，可以消掉兩個參量，再利用Rt△F1BF2解出BF1，BF2的值.

2 平行四邊形與離心率

與平行四邊形結合的離心率問題一般有兩類，一類是題目中存在四邊形;另一類是利用圓錐曲線的對稱性構造四邊形.用到的性質通常有：對邊平行相等;兩條對角線長度的平方和等于兩倍的兩個鄰邊的平方和等.解題時可用代數法也可用幾何法.

例2 如圖2，橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0，直線l1：y=-12x，直線l2：y=12x，P為橢圓上任意一點，過點P作PM//l1且與直線l2交于點M，作PN//l2交l1于點N，若PM2+PN2為定值，則橢圓的離心率為.

因為PM2+PN2是定值，而式子中的兩個線段長度不好表示，所以可以利用平行四邊形的對稱性進行轉化.點P在橢圓上，坐標滿足橢圓方程，于是想到把定值轉化成與點P坐標有關的量，代入橢圓方程，就找到了一個有關參數的等量關系.

3 圓與離心率

借助于圓的性質求離心率問題的題目相對較多，考查點通常是圓的性質和圓錐曲線性質的結合，比如弦的中點與圓心的連線與弦垂直，直徑所對的圓周角是90°，半徑相等，圓與圓的位置關系等.

例3 如圖3，設點F為雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P，Q兩點.若PQ=OF，則C的離心率為.

解析 兩圓的半徑分別有參數a，c，找a，c的關系，只需找兩圓的關系即可.解題方法可以用代數法也可用幾何法，但幾何法要相對簡單.

4 變量的范圍與離心率

該類題目通常是先給出標準方程中某個參數的范圍，或者變量的范圍，再結合具體圖形的平行關系、共線關系、垂直關系等求離心率的取值范圍.通常用代數法來求解.

例4 如圖4，橢圓Γ：x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為e，F是Γ右焦點，點P是Γ上第一象限內任意一點，OQ=λOP（λ>0），FQ·OP=0，若λ

解析 已知參數λ

例5 如圖5，存在第一象限的點M（x0，y0）在橢圓x2a2+y2b2=1a>0，b>0上，使得過點M且與橢圓在此點的切線x0xa2+y0yb2=1垂直的直線經過點N（c2，0），c為橢圓半焦距，則橢圓的離心率的取值范圍是.

總之，對于比較復雜的離心率問題，找出等量關系或者不等關系是關鍵，通常會與很多知識結合起來，有時還涉及數形結合.對于一些常見公式，應該引導學生自主觀察、獨立思考，把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題，找出數學本源，從而更有效、簡潔地解決它，培養學生的數學核心素養.

參考文獻：

[1]范軍.圓錐曲線離心率的求法[J].數理天地（高中版），2020（10）：25-26.

[2] 吳一哲，韓天禧.例談離心率的求法[J].新高考，2011（02）：31-33.

[責任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡介：金鐵強（1973.7-），男，浙江省諸暨人，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.