例談含參數的函數不等式恒成立求參數范圍問題幾種解題策略

摘 要：本文例析含參數的函數不等式恒成立求參數范圍問題的解題策略，提高學生分析和解決函數綜合問題的能力，促進學生數學學科核心素養的達成.

關鍵詞：函數不等式;恒成立;參數范圍;解題策略

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）22-0023-03

近年來，全國高考試題及高考模擬試題中出現了頗有新意、構思精巧的函數不等式恒成立求參數范圍的綜合題，這類題涉及知識面廣、綜合性強，對能力要求較高，能較好地考查學生的思維能力，很值得重視和探究.

1 特值探路

例1 已知函數f（x）=aex-1-lnx+lna，若f（x）≥1，求a的取值范圍.

解析 將x取特殊值1代入不等式中，不等式應該成立，即f（1）≥1，也即a+lna≥1.

令g（a）=a+lna-1，易知函數g（a）單調遞增，g（1）=0，所以a≥1.

點評 利用特殊值探路可以迅速化解題目難度，快速找到題目的答案（準答案），減輕解題思想壓力，轉換解題思維角度，補全充分性證明過程即可完美收官.一般對數函數可將真數取特值1，指數函數的指數可取特值0.2 分類篩選

點評 含參數函數不等式恒成立求參數范圍問題可以利用逐段篩選討論法求解，對參數按照重要節點進行分類，在每一類中證明不等式成立或舉反例說明不成立，最后得解，體現了化整為零的思想和歸類整理的思想.

3 分離參數

例3 設函數f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]，設f（x）≤1+sinx，求a的取值范圍.

點評 不等式恒成立求參數范圍問題，只要容易實現參變分離，就可以很容易轉化為最值（或上、下界）問題求解，但在求最值（或上、下界）時常常要用到洛必達法則.

4 構造函數

點評 在含參數函數不等式恒成立求參數范圍問題中，將不等式兩邊轉化成同構式，根據同構式構造新函數，利用新函數單調性進一步轉化問題，使得問題得到降維求解，此法雖然有一定難度，但能夠發現命題人的命題路徑及數學問題的本質.

5 虛設零點

點評 虛設零點體現設而不求思想，是解決導數問題常用方法，當導數的零點存在但不易求出的時候，就可以虛設零點，回代到原函數解析式中求值，確定函數值的符號.

6 數形結合

構造函數g（x）=ax-1，h（x）=sinx-cosx，x∈[0，π]，畫出函數g（x），h（x）圖象如圖1，g（x）圖象是過（0，-1）點的直線，h（x）的圖象也過（0，-1）點，在[0，3π4]上單調遞增，在[3π4，π]上單調遞減，要使ax-1≤sinx-cosx在[0，π]上恒成立，只需x∈[0，π]時g（x）圖象在h（x）圖象下方，由圖象知a≤2π時不等式恒成立，即a的范圍是（-@，2π].

點評 數學是研究數量關系和空間形式的科學，通過挖掘數學式子背后形的特征，以形助數，是解決數學問題的常用方法.

參考文獻：

[1] 張平.函數與不等式中參數的取值范圍[J].中學數學教學參考，2018（18）：30-32.

[責任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡介：趙忠平（1972-），男，甘肅省慶陽人，本科，中學高級教師，從事中學數學教學研究.

基金項目：2020年度甘肅省“十三五”教育科學規劃課題“優化教學環節，構建三段六環‘一模多型高效數學課堂導學模式的實踐研究.（項目編號：GS[2020]GHB1964）.