“指對互化”妙解函數(shù)導(dǎo)數(shù)綜合問題

摘 要：由于指數(shù)關(guān)系aN=b和對數(shù)關(guān)系logab=N是同一關(guān)系的不同表達(dá)形式，指數(shù)結(jié)構(gòu)和對數(shù)結(jié)構(gòu)相互轉(zhuǎn)化不會改變題目中各個(gè)量之間關(guān)系的本質(zhì)屬性.本文在這一思想指導(dǎo)下，通過舉例的方式說明“指對互化”妙解函數(shù)導(dǎo)數(shù)綜合問題的策略.

關(guān)鍵詞：指對互化;導(dǎo)數(shù)綜合;函數(shù)綜合

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）22-0020-03

由于指數(shù)關(guān)系aN=b和對數(shù)關(guān)系logab=N是同一關(guān)系的不同表達(dá)形式，指數(shù)結(jié)構(gòu)和對數(shù)結(jié)構(gòu)相互轉(zhuǎn)化不會改變題目中各個(gè)量之間關(guān)系的本質(zhì)屬性. 筆者在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，如果能夠利用這一特性，在解決很多函數(shù)導(dǎo)數(shù)綜合題目時(shí)可以起到“茅塞頓開”“豁然明朗”的神奇效果，現(xiàn)將它在幾種題型中的應(yīng)用舉例如下：

1 “指對互化”巧轉(zhuǎn)化，大小比較不再難

例1 （2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科）已知55<84，134<85.設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則 （）.

A.a

C.b

分析 因?yàn)閘og53，log85，log138∈（12，1），可以先比較它們與中間值34的大小，要比較log53與34的大小，只需比較3與534的大小，只需比較34與53的大小.

因?yàn)?4<53，所以log53<34.

同理要比較log85與34的大小，只需比較5與834的大小，只需比較54與83的大小.

因?yàn)?4>83，所以log85>34.

同理可得log138>34.

于是log53

再比較log85，log138與45的大小，同理可得log85<45且log138>45，于是log85

解法評述 這種解法抓住了指數(shù)關(guān)系aN=b和對數(shù)關(guān)系logab=N是同一關(guān)系的不同表達(dá)形式這一本質(zhì)屬性，充分利用logab=NaN=ba=b1N

，利用中間值搭臺階，將不好估值的對數(shù)式化為方便計(jì)算的指數(shù)式，思維簡單巧妙觸及對數(shù)概念本質(zhì)，讓人茅塞頓開.

2 “指對互化”妙分參，參數(shù)范圍易求得

例2 （2020年新高考山東卷21題第（2）問）已知函數(shù)f（x）=aex-1-lnx+lna.若f（x）≥1，求a的取值范圍.

分析 不等式f（x）≥1等價(jià)于aex-1-lnx+lna≥1.

所以φ（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，φmax（x）=φ（1）=0，所以lna≥0，所以a≥1.

解法評述 由于不等式結(jié)構(gòu)aex-1-lnx+lna≥1的復(fù)雜性，不太好分離參數(shù)，可以考慮將不等式進(jìn)行簡化，變不可分參為容易分參.這里利用“指對互化”，將不等式兩邊變形為同構(gòu)函數(shù)φ[r（x）]≥

φ[m（x）]，再利用函數(shù)φ（x）的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為r（x）≥m（x）問題，達(dá)到巧妙簡化問題的目的.

例3 （2021年高考浙江卷22題第（2）問）設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且a>1，函數(shù)f（x）=ax-bx+e2.

解法評述 本題的難點(diǎn)在于分離參數(shù)難度非常困難，利用“指對互化”，構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)t=xlna，整體換元后實(shí)現(xiàn)參數(shù)分離，達(dá)到簡化問題的目的.

3 “指對互化”妙同構(gòu)，不等證明變簡單

例4 （2020年沈陽質(zhì)量檢測22第（3）問）已知函數(shù)f（x）=ex-1-x-ax2.若x>0，證明：（ex-1）ln（x+1）>x2.

解法評述 由于要證明的不等式結(jié)構(gòu)（ex-1）·ln（x+1）>x2過于復(fù)雜，直接構(gòu)造函數(shù)證明較為困難，需要對它進(jìn)行簡化，為了平衡不等式兩邊，這里做了適當(dāng)變形得到ex-1x>xln（x+1），然后利用“指對互化”構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)φ（x）=ex-1x或者φ（x）=x-1lnx，并利用其單調(diào)性成功轉(zhuǎn)化為容易證明的問題.

知名作家豆豆在《遙遠(yuǎn)的救世主》一書中是這樣解讀“神”和“神話”的：“神就是道，道就是規(guī)律，規(guī)律如來，容不得你思議，規(guī)律辦事的人就是神”“這個(gè)世上原本就沒有神話，所謂的神話，不過是常人的思維所不易理解的平常事”，類似地，我們可以這樣理解數(shù)學(xué)解題中的 “巧妙”與“神奇”，它不過是按照數(shù)學(xué)知識規(guī)律辦事的平常思維罷了，之所以給我們“巧妙”與“神奇”的感覺，是因?yàn)槲覀儗χR本質(zhì)的理解不夠深刻的緣故罷了，這就要求我們深度專研，盡可能理解知識的本質(zhì)屬性，并在實(shí)際解題中不斷嘗試去運(yùn)用它，解題就變得“巧妙”而“神奇”起來了.

參考文獻(xiàn)：

[1]劉海濤.例談同源法構(gòu)造函數(shù)在解題中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2020（09）：28-29.

[2] 王淼生.實(shí)施同構(gòu)變換 構(gòu)建同構(gòu)函數(shù) 實(shí)現(xiàn)變量分離[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2021（07）：30-32.

[責(zé)任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡介：趙英巵（1985.2-），女，重慶市合川人，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.