排列組合解題中的物理操作

摘 要：對于較難的排列組合問題，如果單純地從數學角度思考，很難找到解題思路.但換一個思考路徑，從物理操作層面探索，往往就有意外的驚喜.

關鍵詞：排列組合;物理操作;化歸

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）22-0013-03

排列組合是高中數學的重要學習章節，它對考查學生思維的嚴密性、深刻性、廣闊性具有不可替代的作用.也為學生進一步學習“組合數學”“概率統計”奠定了堅實的基礎.但在排列組合解題中，有些題目所需要的思維方式卻超出了數學的范疇.如果我們僅僅停留在數學苑囿“深挖洞”，可能最終導致無功而返.如果我們進一步拓廣思維視野，跳出數學的方寸天地，就會豁然開朗.我們姑且把這種思維方式，稱為“物理操作”.簡而言之，就是要通過一系列的“物理”操作，才能完成解題過程.

1 重構操作

即根據題目的意思，在保持原題本質不變的前提下，重新設計操作程序，使新的操作設計更加貼近題意，更具“數學化”.

例1 袋子里有紅、黑、白、黃四種顏色的大小相同的小球各10個.每種顏色的10個小球分別標有數字1，2，3，4，…，10.若從中任取4個小球，這4個小球顏色互不相同，且所標數字互不相鄰的不同取法共有多少種？

解析 首先假想準備10個無顏色無標號的10個大小相同的小球.

①將其中的6個球擺好，這6個球連同左右兩邊一共形成7個空位;

②在上述7個空位中，插入另外4個小球，共有

C47種.并將這4個小球做好記號;

③將上述10個小球從左到右標上序號：1，2，3，…，10;

④將插入并做好記號的4個小球取出，給小球依次在“紅、黑、白、黃”四種顏色中任選一種涂色，則4個小球的涂色方法數為A44;

⑤則合乎題意的不同取法共有N=C47·A44=840種.

例2 從1，2，3，…，9中任取5個數字組成無重復數字的五位數，要求其中僅含有兩個連續的數，且這兩個連續的數相鄰的五位數有多少個？

解析 （1）將余下的4個數，當作4個相同的小球擺成一排，則一共留出（包括左右兩邊）5個空位;

（2）將連續的2個數看作2個小球，捆綁成1個小球，插入5個空位中的1個空位;

（3）將余下的4個空位中插入另外3個小球;

（4）標記插入的4個單位的“球”;

（5）將這8個小球（實質上是9個）從左至右依次編號1，2，3，…，9;

（6）取出插入的4個單位的“球”;

（7）將這有編號的4個單位的“球”全排列成五位數;

（8）依題意，滿足要求的五位數共有：C15·C34·A22·A44=960個.

2 退步操作

對于有范圍限制的排列組合問題，可以先退步思考，滿足題設條件，使限制范圍變得單一常規.再根據組合模式，尋找進一步的解題方法.

例3 將15個大小相同的小球放入標有“1，2，3，4”編號的盒子里，則每個盒子里放入的球的個數不小于該盒子的編號數的放法一共有多少種.

解析 （1）如圖1預先在2號、3號、4號盒子里依次投入1個、2個、3個小球，則剩余9個小球;

（2）將剩余的9個小球擺成一排，中間留出8個空位;（3）在上述8個空位里，任意插入3塊隔板;

（4）則滿足題意的方法一共有：C38=56種.

例4 已知M=1，2，3，…12，從集合M中任取4個數，要求這4個數中，至少有2個數相鄰，問共有多少種取法？

解析 （1）從集合M中任取4個數，共C412種;

（2）將剩余的8個數，當作8個相同的小球擺成一排，一共留出包括左右兩邊9個空位;（3）在9個空位中插入4個小球，并標上記號;

（4）將上述12個球，從左至右，按1，2，3，…，12編號;

（5）將標上記號后插入的4個小球取出，則這4個小球號碼各不相鄰;

（6）依題意，滿足要求的取法一共有C412-C49=269種.

例5 一排共18個座位，A，B，C三人按如圖2方式入座：任意兩人之間至少有3個座位，且三人的順序是A在B與C之間，則不同的坐法共有多少種？

• 解析 （1）先將B，C在座位上坐好，再排好，有A22種，并把A放在B，C之間;

（2）在B，A之間放置3個空座位，在A，C之間放置3個空座位;

（3）將余下的9個空座位，插入如圖2所示的4個部分：x1，x2，x3，x4;

（4）即轉化為求不定方程x1+x2+x3+x4=9的非負正整數的個數;

（5）因為xi≥0，令yi=xi+1，則

yi≥1，i=1，2，3，4，y1+y2+y3+y4=13;

（6）由隔板法知：方程y1+y2+y3+y4=13的正整數解的個數為C312;

（7）綜上所述：滿足題意的不同坐法為A22·C312=440種.

3 配位操作

對于“搭配”問題，可以先進行配位操作，使之成為一個“大單位”的“元素”，再按照常規思路考慮.

例6 有14個年輕人和5個老人站成一排，要求每個老人左右至少各有一個年輕人攙扶，問有多少種不同方法？

解析 （1）先從14個年輕人中拿出10個，與5個老人左右搭配，做成5個“年輕人甲+老人+年輕人乙”模式的單位“人”;

（2）將上述5個單位的“人”，與剩余的4個年輕人全排列;

（3）綜上所述：滿足題意的方法數有A1014·A99種.

例7 公園里有3人坐在8把椅子上，坐好后，若每人的左右兩邊都要有空椅，則有多少種不同的坐法？

解析 （1）先將不坐人的5把椅子排成一排，中間一共留下4個空位;

（2）將3個人安排，每人坐一把椅子;

（3）將“人+椅子”看作1個單位的“人”，在上述4個空位中選擇3個

空位推進去;

（4）滿足題意的坐法共有A34=24種.

4 無為操作

對于有些題目，表面上看是有序排列問題，但深入細究，卻是組合問題.因為各個元素是相異的，本身就存在天然的次序.這就需要我們“無為而治”.相反地，如果真正“有為操作”，則會弄巧成拙.

例8 把五位數abcde滿足“a>b>c，c

解析 （1）從“0，1，2，3，…，9”中任取5個數，共有C510種，將取出的5個數中最小的數賦給c;

（2）從取出的5個數剩余的4個數中取出2個數，共有C24種，將取出的2個數中較大的賦給a，較小的賦給b;

（3）將5個數中還剩余的2個數，較大的數賦給e，較小的賦給d;

（4）綜上所述：五位“凹數”一共有C510·C24=1512個.5 筑巢操作

對于有些排列組合問題，單從表面思考，很難找到突破口.若我們將此問題放置在一個大的背景下思考，則會迅速迸發出思維的火花.給一個較難的問題，安置一個大背景，我們形象地稱之為“筑巢操作”.

例9 如圖3，在平面直角坐標系中，x軸正半軸上有5個點，y軸正半軸上有3個點.將x軸上這5個點與y軸上這3個點連成15條線段，這15條線段在第一象限的交點最多有多少個？

解析 （1）從x軸正半軸上的5個點中任選2個點，共有C25種;

（2）從y軸正半軸上的3個點中任選2個點，共有C23種;

（3）以上選出的4個點，共可構成C25·C23=30個四邊形;

（4）每個四邊形的對角線都有1個交點;

（5）滿足題意的交點最多有30個.

6 符號操作

對于題目所描述的現象，我們可以抽象為用數學符號來闡釋，把這一類操作稱為“符號操作”.它的好處在于能迅速建立操作與數學符號的有機聯系，為數學化解決問題做好鋪墊.

例10 如圖4，A，B，C，D，E站成一圈傳球，每人只能將球傳給其左右相鄰兩人中的一人.

由A開始傳出（算作第一次），經過10次傳球又回到A的傳球方式共有多少種？圖4

解析 記向左傳為“+1”，向右傳為“-1”.由A開始傳出10次球后，又回到A，就是在10個“1”前面添加正號或負號，使其代數和為10，或0，或-10.

（1）當代數和為“10” 時，全是“+”，有1種;

（2）當代數和為“-10”時，全是“-”，有1種;

（3）當代數和為“0”時，即有5個“+”，5個“-”，共有C510=252種;

綜上所述，滿足題意的傳球方式有：1+1+252=254種.

參考文獻：

[1] 武增明.細看近八年高考中的排列組合試題[J].數理化解題研究，2021（07）：41-45.

[責任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡介：魯和平，特級教師，從事中學數學教學研究.