聚焦函數零點分布的常見題型及求解策略
2022-05-30 10:48:04李波
數理化解題研究·高中版 2022年8期
摘 要：函數零點是歷年高考命題的重點，也是函數應用的基礎，此內容可與多種函數及函數的圖象、性質相結合，從近幾年高考來看，零點問題與函數圖象交匯在客觀題、與導數結合在解答題中出現，是考查函數與方程、數形結合、轉化與化歸思想的重要載體.
關鍵詞：常見函數;零點問題;數形結合;求解策略
中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）22-0008-05
1 回歸定義，溯本求根
例1 已知定義在R上的函數f（x）=1|x-e|，x≠e，1，x=e， 若關于x的函數y=f 2（x）-mf（x）+m-1
例2 （2019年全國Ⅱ卷文）已知函數f（x）=（x-1）lnx-x-1，證明：
（1）f（x）存在唯一的極值點;
（2）f（x）=0有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數.
證明（1）函數f （x）的定義域為（0，+∞），導函數f ′（x）=lnx-1x，此時f ″（x）=1x+1x2>0，所以f ′（x）在（0，+∞）單調遞增.
又f （x）在（0，x0）上單調遞減，且1m∈（0，x0），所以f（x）=0有且僅有兩個實根m，1m，且兩個實根互為倒數.
評析求函數零點的常用方法：一是通過解對應方程，求實數解;二是通過作函數圖象，利用數形結合求交點橫坐標，但需要注意函數的定義域，分段函數的零點檢驗.
2 巧用對稱，不攻自破
例3 （成都樹德中學期末考試）已知x1是函數f（x）=xlog2x-2020的一個零點，x2是函數g（x）=x·2x-2020的一個零點，則x1x2的值為.
解析 令f（x）=xlog2x-2020=0，得
評析 解決函數零點不可求的客觀題時，要有二個意識：一是會轉化，函數零點、方程的根、兩個圖象的交點三者之間等價轉化;二是要有整體觀，結合圖象的表征深化到圖象的對稱性：中心對稱、軸對稱，奇函數或者偶函數的零點關于數軸原點對稱，且所有零點之和等于0.
3 合理設參，統一變量
評析 將方程問題轉化為圖象的交點問題，數形結合找到參數的切入點，聯立方程組，將多變量問題轉化為單變量問題，方便在化簡、求最值時使用均值不等式、配方、構造函數判斷單調性、比較大小等，但要注意變形過程的等價性.
4 巧用模型，化動為靜
例6 已知函數f（x）=|log3x|，0 評析 依據題目條件準確畫出函數圖象，使復雜的代數問題變得形象直觀，結合圖象建立等量關系、不等關系，求得零點的分布. 5 數形結合，相得益彰 例7（2020年全國Ⅲ卷）設函數f（x）=x3+bx+c，曲線y=f （x）在點（12，f（12））處的切線與y軸垂直. ①若f （x）有一個零點，則方程-c=x3-34x有一個根x0，由圖知c<-14或c>14，此時x0<-1或x0>1，絕對值大于1，不成立. ②若f （x）有兩個零點，則方程-c=x3-34x有兩個根x1，x2，由圖知c=-14或14，此時兩根分別為x1=-1，x2=1，絕對值等于1，成立. ③若f （x）有三個零點，則方程-c=x3-34x有三個根x4，x5，x6，由圖知-14 綜上所述，當f （x）有一個絕對值不大于1的零點時，f （x）所有零點的絕對值都不大于1. 評析 本題考查導數的幾何意義、與零點有關的不等式證明，體現了數學運算、邏輯推理的核心素養.運用導數研究函數的零點或者方程的根，是高考熱點問題，以函數的單調性為切入點，畫出函數大致圖象，以便確定函數零點的分布、最值情況，真正體現數形結合的靈活運用. 6 以退為進，海闊天空 例8 （2020年浙江卷）已知1 評析 本題給人以親而不近之感，利用導數判斷函數的單調性、零點個數，并將不等式的證明與零點的存在性定理完美結合，較好地考查了邏輯推理能力、轉化與化歸的思想. 7 反面入手，柳暗花明 例9 （2016年全國Ⅰ卷）已知函數f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點. 函數零點的分布是難點，也是近幾年高考的熱點，綜合性很強，考法靈活多變，解題時應該避重就輕，避實就虛，不失為一種明智的策略，可以考慮以上7種策略.考查了數形結合、分類討論、函數與方程、轉化與化歸數學思想，也是解題策略的優化與變通，更是“臨淵羨魚，不如退而結網”的人生境界. 參考文獻： [1] 謝新華.運用數學思想 探究函數零點個數問題[J].數理化解題研究，2021（01）：29-30. [責任編輯：李 璟] 收稿日期：2022-05-05 作者簡介：李波（1991-），男，四川省儀隴人，本科，中學一級教師，從事中學數學教學研究.
