淺析數學觀察能力的作用與培養措施

王婷婷

[摘? 要] 敏銳的觀察能力能避免人們被事物的表象所迷惑，并獲得透過表面現象看到事物內在本質或演變趨勢的能力. 形成良好的數學觀察能力，具有順利達成教學目標、提高課堂教學效率、提升學生綜合素養等作用，具體的培養措施有：觀察式子結構特征，探尋解題捷徑;觀察試題條件結論，搭建解題橋梁;觀察函數對應圖像，探索問題本質;觀察命題整體結構，實現靈活變通.

[關鍵詞] 觀察能力;作用;解題;能力;培養措施

大千世界，博大精深. 洞察問題的本質是學生永恒的追求，外觀于問、內識于心，是學生認識問題并不斷超越自我的過程，觀察能力是聯系學生與問題本質的橋梁. 數學觀察是指在教學中，學生有意識地對數學事物的數形特征進行感知、分析、抽象，并用對應的數字、字母、符號或文字進行表達，其本質是一個心理活動的過程.

[?]數學觀察能力的作用

1. 順利達成教學目標

心理學家哈根說過，“教學中，兒童具有注意一些線索而又無視另一些線索的心理傾向.”教學活動是建立在明確的教學目標的基礎上進行的，學生一旦明確了學習任務，在實際觀察中，則會不由自主地支配自身的感知覺，將感知方向指向于特定對象，為目標的達成奠定基礎. 新課標提出：“數學教育承載著引導學生用數學的眼光看待世界，用數學的思維思考世界，把握事物規律，形成正向世界觀等責任.”可見，學會從數學的視角觀察生活事物，增強社會責任感，是社會賦予學生的責任，也是重要的教學目標之一.

2. 提高課堂教學效率

同一節課，不同學生會產生不同程度的認知，這是課堂教學效率的體現. 不得不承認，學生與學生之間，的確存在著顯著的個體差異，有些學生因觀察能力滯后，對數學現象及教學活動缺乏洞察力，而有些學生則能靈敏地發現問題的本質，學習效率自然很高. 顯然，缺乏觀察能力的學生，無法及時發現數據與圖形之間的內在聯系，在知識的建構上呈現出了慢半拍的節奏. 因此，提高學生的觀察能力，是提高教學效率的重要突破口之一.

3. 提升數學核心素養

當前，在新課改的推進下，每門學科都以培養學生的核心素養為教學宗旨. 觀察能力的提升對學生運算、邏輯思維、想象、數據處理以及交流等能力的提升，都具有顯著的促進作用. 不論是數據關系的處理，還是圖形的識別，都離不開觀察能力的支撐. 當然，這種觀察能力并非單純地用眼睛去觀察，更重要的是用大腦進行思考與分析;觀察對象也不一定是直觀的形象，還可能是抽象的文字等. 因此，觀察能力的培養是促進數學核心素養形成與發展的基礎.

[?]培養措施

1. 觀察式子結構特征，探尋解題捷徑

羅丹說：“能在被人司空見慣的事物上發現美的人，就是所謂的大師. ”當學生面對相同的式子時，因個體差異會看到不一樣的內涵. 為了訓練學生的觀察能力，教師可以引導學生從式子的結構特征出發，進行細致、全面、入微的觀察，以發現解決問題的最佳途徑;也可以根據式子的結構，確立明確的觀察點，再由表及里、由點到面地進行研究，從而獲得準確的判斷，為解題服務.

例1 已知集合P={1，2，3，…，2015}，集合A為集合P的子集，在集合A的三個元素中，總有兩個元素存在a是b的整數倍，若

A

代表集合A的元素個數，求

A

的最大值.

解析：集合A={1，2，22，23，…，210，3， 3×2，3×22，…，3×29}符合本題要求，此時

A

=21.

設A={a1，a2，a3，…，ak}?P，且a1

A

的最大值是21.

解決本題主要存在猜想與證明兩個環節，從式子結構進行觀察的要領是：①如果能發現式子的所有解，也就說明本題除此無他;②如果能發現式子的部分解，就要用一定的手段找出看不到的解. 解題時，除了以知識基礎為依托外，還要引導學生勇于大膽猜想，在猜想的基礎上進行論證. 猜想雖不能直接解決問題，卻能為解題提供幫助，而觀察過程則涵蓋了猜想與論證的過程.

2. 觀察試題條件結論，搭建解題橋梁

對于試題來說，觀察是溝通條件與結論的橋梁. 想要獲得結論，必須從問題的條件中尋找相應的依據，條件為結論服務，而結論又是條件的歸宿. 想要從已知條件中獲得未知的結論，就必須有一雙善于觀察的眼睛，將問題的條件與結論結合在一起進行分析、探究，這也是解題最常用的方法.

例2 已知α∈-

，，β∈-

，0，sinα-cos2β=

-

，求sin

-β

的值.

解析：根據題設條件可得sinα-

=cos2β-

，也就是cos

α-

-

=cos2β-

，再結合條件構造函數f（x）=cosx-

，x∈[-π，0]. 因為y=cosx于[-π，0]內是遞增函數，y= -

于[-π，0]內也是遞增函數，因此函數f（x）=cosx-

在[-π，0]內是遞增函數. 根據cos

α-

-

=cos2β-

，得f

α-

=f（2β），因此sin

-β

=.

通過對條件的觀察與分析，構造出函數，再從單調性著手解題. 這種方法不僅將問題的條件與結論聯系了起來，還凸顯了觀察在解題中的重要作用. 如果學生之前有過類似的解題經驗，遇到本題就會很自然地想到這種解題方法，也就是說，學生的認知經驗能促進觀察的有效性，為解決問題提供幫助，也為思維的發展奠定基礎.

3. 觀察函數對應的圖像，探索問題本質

眾所周知，數為形的基礎，而形又是數的表達形式，數與形之間是“你中有我，我中有你”的關系. 數形結合思想貫穿數學教學的始末，有很多問題需要依賴數與形的互相轉化來解決. 因此，既要學會觀察數量關系中存在的形，也要洞察圖形中蘊藏的數量關系. 高中數學解題中，我們常遇到的是通過函數圖像的觀察，揭示問題的本質，達到解題的目的.

例3 若將函數f（x）=-（x∈[0，2]）的圖像，繞著坐標原點O旋轉θ（θ是銳角），此時得到的曲線仍然為函數圖像，求θ的最大值.

解析：從二次函數的單調性出發，觀察f（x）=-（x∈[0，2]）的圖像，可知其在[0，1]內是增函數，在[1，2]內是減函數. 假設函數f（x）位于x=0處的切線斜率是k，則k=f′（0）. 因為f′（x）==，所以k=f′（0）==tan30°，由此可確定切線的傾斜角是30°.

如圖1所示，要使旋轉θ后的圖像仍是函數圖像，那么旋轉后的圖像切線的傾斜角最大為90°，若超過90°，旋轉后的圖像與y軸會出現兩個交點，此時的曲線不是函數圖像. 因此本題最大的旋轉角度為90°-30°=60°.

類似問題還有很多，當我們遇到此類問題時，應先明確函數圖像是基于函數解析式而來的，它們之間不僅是對應的關系，還是相輔相成的關系. 解題時，我們可以從數形結合思想著手進行觀察，探索問題的本質.

4. 觀察命題整體結構，實現靈活變通

隨著新課改的推進，當前的命題越來越新穎、豐富，這對學生的思維靈活性提出了更高的要求. 其實，所有的命題都是從基本概念、定義與性質衍生而來的，具有萬變不離其宗的規律. 當學生解題時出現了思維上的障礙，可以考慮從命題的整體結構上進行觀察與分析，有可能會有新的發現與突破.

例4 如圖2所示，正方體ABCD-ABCD中的點M，E分別是棱BC，BB的中點，點N是正方形CBBC的中心點，直線l是平面AMN和平面BED的交線，求直線l和正方體的底面ABCD所成角的度數.

解析：從正方體的性質著手進行觀察與分析，可知MN，BE都與平面ABCD垂直，因此平面AMN，DBE均垂直于平面ABCD，所以l與平面ABCD也是垂直的關系，所成角為90°.

從常規思路出發，一般都是先找出平面AMN和BED的交線l，再求所成角的度數，但這種方式很煩瑣. 根據“兩個相交平面與第三平面垂直，那么交線與第三平面也為垂直的關系”的性質，能將本題化繁為簡. 由此可見，觀察命題整體結構，具有靈活變通解題方法的重要作用.

實踐證明，良好的觀察能力能讓一個人變得更加嚴謹、睿智. 學生數學觀察能力水平的高低，對解題能力具有直接影響. 作為教師，應在教學中不斷地提升學生的觀察能力，為學生數學核心素養的形成與發展奠定基礎.