“一題一課”，助力“三通”

周榮偉

摘要：“一題一課”理念可以合理地運用到單元起始課中，體現單元教學的整體性、聯系性以及深度。運用“一題一課”理念，設計并實施了蘇科版初中數學七年級下冊第10章《二元一次方程組》的起始課：從一道數學試題出發，通過“一元”“二元”兩個角度的解題探索，讓學生主動類比建構二元一次方程組的模型，并應用這個模型解決變式與逆向問題，從而揭示全章的主題，點明研究的基本方法。這樣的教學實現了從“由外而內”到“由內而外”的融通、從“單一課時”到“單元整體”的聯通、從“淺層學習”到“深度學習”的貫通。

關鍵詞：《二元一次方程組》;章起始課;“一題一課”

目前，“一題一課”型復習課（以某道題目——最好是以中、高考試題為背景，聚焦某個主題、串聯幾個話題展開教學的復習課），因能彰顯內容的整體性、聯系性以及學習的深度，克服數學教學中普遍存在的知識碎片化、方法單一化以及認識表層化問題而備受關注。其實，從單元教學的角度看，“一題一課”理念，也可以合理地運用到單元起始課中——通常，起始課和復習課是最能體現單元教學整體性、聯系性以及深度的課。

最近，筆者在一次市級教研活動中，運用“一題一課”理念，設計并實施了蘇科版初中數學七年級下冊第10章《二元一次方程組》的起始課，取得了較好的效果。下面呈現這節課的教學設計與思考。

一、教學設計

（一）益智導入

出示題目：如圖1，在長方形ABCD中，放入5個形狀、大小相同的小長方形（空白部分），其中AB=7 cm，BC=11 cm，則陰影部分圖形的總面積是（）

A. 18 cm2B. 21 cm2

C. 24 cm2D. 27 cm2

（二）啟智助學

獲得“對象”：設小長方形的寬為x cm，則長為（7-x）cm或（11-3x）cm，得7-x=11-3x。這個方程只含有一個未知數，并且未知數的次數都是1，所以是一元一次方程。

研究“對象”：根據方程的解的定義（能使方程兩邊的值相等的未知數的值），用枚舉法合情推理，可求得方程的解為x=2;用一般法（等式的性質）演繹推理，亦可求得方程的解為x=2。

應用“對象”：可以求得每個小長方形的邊長分別是2 cm、5 cm，面積是2×5=10（cm2），從而求得陰影部分圖形的總面積是7×11-5×10=27（cm2），故選D。

回顧總結：用方程模型解決實際問題的一般過程如圖2所示。

（三）培智探究

獲得“對象”：設小長方形的寬為x cm，長為y cm，可列出兩個方程x+y=7，3x+y=11。觀察發現，這兩個方程都含有兩個未知數，并且含有未知數項的次數都是1。類比一元一次方程的定義，給出二元一次方程的定義。由于小長方形的長和寬的值必須同時滿足這兩個方程，因此，要把這兩個方程聯立在一起，寫成x+y=7，

3x+y=11。由此給出二元一次方程組的定義。

研究“對象”：類比一元一次方程解的定義，給出二元一次方程解的定義。用枚舉法，得到x+y=7的整數解如表1所示，3x+y=11的整數解如表2所示。用一般法（等式的性質），把兩個方程分別寫成用含一個字母的代數式表示另一個字母的形式（即把一個字母看作已知數，解關于另一個字母的一元一次方程），如y=7-x，y=11-3x。觀察發現，這兩個式子中，對x的每一個值，y都有唯一確定的值與它對應。由此滲透函數思想（“凡此變數中函彼變數，則此為彼之函數”）。比較兩種解法，都可發現，二元一次方程的解通常有無數個。

基于二元一次方程組的定義，得到二元一次方程組解的定義（公共解）。用枚舉法，從表1和表2中（結合變化趨勢）可以看出，x=2，

y=5是x+y=7，

3x+y=11唯一的解。用一般法（等式的性質），將y=7-x代入3x+y=11，得3x+7-x=11，解得x=2，將x=2代回y=7-x，得y=5，故x=2，

y=5;或將3x+y=11與x+y=7左右兩邊分別相減，得2x=4，即x=2，將x=2代入x+y=7，得2+y=7，即y=5，故x=2，

y=5。比較總結，前一種方法通過代入消去一個未知數，轉化為一元一次方程，稱為代入消元法;后一種方法通過相加或相減消去一個未知數，轉化為一元一次方程，稱為加減消元法。

應用“對象”：同建立一元一次方程模型的情況。

（四）增智應用

出示變式1：某球員在一場籃球比賽中共得35分，其中兩分球得24分，如果這名球員投中的三分球和罰球共7個，那么他投中的三分球、罰球各幾個？試列出方程組。（設這名球員投中了x個三分球、y個罰球，可以得出方程組3x+y=11，x+y=7。）

出示變式2：甲、乙兩人加工零件，各做1 h，共加工7個零件;甲做3 h，乙做1 h，共加工11個零件，則甲、乙兩人每小時各加工多少個零件？試列出方程組。（設甲、乙每小時各加工x、y個零件，可以得出方程組x+y=7，3x+y=11。）

出示逆向問題：一個二元一次方程組常常可以有不同的實際意義，你能給出方程組x+y=7，

3x+y=11的一個實際意義嗎？（例如：小明去超市購買圓珠筆和本子共7件，共付11元，已知圓珠筆3元/支，本子1元/本，則圓珠筆和本子的單價各是多少元？再如：甲、乙兩人從相距11 km的A、B兩地相向而行，已知甲走3 h、乙走1 h后兩人相遇，且他們的速度和是7 km/h，則甲、乙兩人每小時各走多少千米？）

（五）育智歸理

明確本章主題：從“一元”到“二元”，建立了新的數學模型;從“二元”到“一元”，用轉化的方法解決了這個問題。

搭建本章知識框架：如圖3所示。

把握本章研究路徑：（1）獲得對象（來自哪兒）——數學抽象（用數學的眼光觀察現實世界）;（2）研究對象（有何特征）——數學推理（用數學的思維思考現實世界）;（3）應用對象（去向何方）——數學建模（用數學的語言表達現實世界）。

二、教學思考

（一）從“由外而內”到“由內而外”的融通

本章第一課時的教學通常是通過豐富的問題情境，建立二元一次方程（組），讓學生感受到二元一次方程（組）也是現實問題中含有未知數的等量關系的數學表達。這是一種“由外而內”的學習探索過程。而本節課運用“一題一課”理念，從一道數學試題（江蘇省無錫市惠山區2021—2022學年七年級上學期期末考試第8題）出發，通過從不同角度（“一元”“二元”）的解題探索，讓學生主動類比建構新的數學模型（二元一次方程組），并用這個模型解釋現實情境（解決變式與逆向問題）。這是一種“由內而外”的學習探索過程，有利于培養學生的理性精神和創新能力。其實，教材對本章的總體設計思路是，在學生掌握一元一次方程有關知識的基礎上，分三個部分展開：從問題到方程組、解方程組、用方程組解決問題，即“由外而內”獲得對象、內部研究對象、“由內而外”應用對象。因此，本節課實現了從“由外而內”到“由內而外”的融通。

（二）從“單一課時”到“單元整體”的聯通

本章第一課時的教學還常常過分強調局部的課時目標：經歷分析實際問題中數量關系的過程，進一步體會二元一次方程（組）也是現實問題中含有未知數的等量關系的數學表達;了解二元一次方程的概念，并會判斷一組數是不是某個二元一次方程的解。這樣的教學“只見樹木、不見森林”，導致學生得到的只是零散的、碎片化的知識以及單一課時的能力，沒有發揮章起始課的統領作用，不能體現《義務教育數學課程標準（2022年版）》強調的數學的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統性。而本節課揭示了全章的主題，同時點明了研究二元一次方程組的基本方法——消元。這樣的教學追求的是核心知識、思想方法、問題解決能力的結合;注重學習結果的可遷移性，即舉一反三、觸類旁通。因此，本節課實現了從“單一課時”到“單元整體”的聯通。

（三）從“淺層學習”到“深度學習”的貫通

目前很多數學課堂中，學生實際上都只是在進行淺層學習：列一列方程（組）、說一說定義、算一算方程（組）的解。這樣的學習往往是死記硬背、機械模仿的“心不在焉”、缺少理解的學習。而本節課通過益智導入、啟智助學、培智探究、增智應用、育智歸理等五個環節，讓學生在教師的引領下，圍繞著具有挑戰性的學習主題（“二元”模型），全身心積極參與，體驗成功，獲得發展，實現深度學習。這樣的教學猶如太湖石的藝術美：既有“廋”的簡約（一題一課）、“皺”的生動（從“一元”到“二元”），又有“漏”的留白（如何消元）、“透”的深刻（從內涵到價值）。這也是新課標背景下指向學生核心素養培育的“深度學習”應該有的樣態：一是回歸課堂的“生活”本真，尊重學生“安靜讀書”“專注思考”“完整表達”“規范操練”的權利;二是強化課堂的有效“生成”，確立對話關系，構建對話文化，創設對話情境，搭建對話平臺，在對話中生成最佳的教學話題、思維路徑和解決問題的方式方法;三是塑造課堂的鮮活“生命”，注重多種學習方式的綜合運用，注重個性和品質塑造，注重思維和精神成長，使課堂充滿智慧和靈性。因此，本節課能實現從“淺層學習”到“深度學習”的貫通。