領略數學反問題之美

李明麗

反問題（inverse problem），顧名思義，是一類需要逆向思考來尋找答案的問題。你可能不知道，相當多的數學實際應用，都屬于反問題的研究范疇。

在推理小說里，罪犯作案是一次正向發生的過程，而福爾摩斯用優秀的逆向思考能力，得出最有可能的作案方法，破解了案件。在現實世界中，大多數的事物或現象之間往往也存在著一定的自然順序，如時間順序、空間順序、因果順序等。而反問題則是根據事物的演化結果，由可觀測的現象來探求事物的內部規律或所受的外部影響，由表及里，索隱探秘，起著推果求因的作用。

清華大學丘成桐數學科學中心（以下簡稱“數學中心”）的助理教授邱凌云，正是一位研究反問題的青年學者。在邱凌云看來，反問題的科學研究方興未艾，在地震反演、無損探傷、非視距成像等方面大有可為，他期待通過反問題的研究做出更多的成果，更好地服務社會，服務國家。

波動與反問題

2018年冬天，邱凌云回到了闊別十多年的祖國，入職清華大學，成為數學中心的一名助理教授。在他的心中，數學中心已然躋身世界一流行列，與國際接軌，是值得他回來大展抱負的理想之地。“我之所以出國去念書，是希望學習更多的知識，所以在學成之后，我的內心有很強烈的想法，想要回到祖國，建設自己的國家。”邱凌云如是說道。

在加入清華大學之前，邱凌云曾在2015—2018年就職于挪威石油地質服務公司（Petroleum Geo-Services，PGS）位于美國休斯敦的全球研發總部，從事地震波反演問題的研究工作。

“我主要的研究方向是反問題研究，數學上叫偏微分方程反問題。偏微分方程是用來描述世界運行狀態的數學方程，很多生活中的現象都可以用偏分方程來解釋，比如聲音是如何傳播的，熱量是如何擴散的，很多看似迥異的場景是可以用同一組微分方程來描述的，盡管這些現象可能并沒有什么關聯。”談到自己的研究方向，邱凌云的話匣子打開了，他用通俗易懂的語言將復雜的學術概念簡單化。

地震就是一個典型用波動方程可以描述的過程。地震波是一種穿過地球的振動。通過了解地震波的影響，人們可以深入地球內部，了解它的構造。而邱凌云過去從事的地震反演研究工作，正是反其道而行之。他利用地表觀測地震資料，以已知的地質規律和鉆井、測井資料為約束，對地下巖層空間結構和物理性質進行成像（求解）。

“通過地震反演，研究人員勘探地下幾公里處的石油，方法是在地表實施爆炸，并利用爆炸所產生的地震波回波來計算出地下密度、速度場等參數的分布情況。”這就是波動方程的反問題應用，邱凌云解釋說，“比如我聽到一面鼓發出的聲音，能不能把鼓的形狀確定出來，這就是一個和我們找石油類似的反問題。”

如果從應用層面來理解反問題，邱凌云認為最典型的例子是無損探測。“比如在醫療當中的CT、MRI等檢測手段，都是在不破壞人體的情況下，探知人體內部的變化，以此判斷人體是否健康。這種不知道被觀測物體內部結構，僅從外部觀測數據來推測的研究方法就可稱為反問題研究。”

而波動方程反問題是指由觀測結果及某些一般原理出發去推演表征問題特征的模型幾何參數和物理參數的數學問題。邱凌云考慮到用波動方程描述的反問題在許多關系國計民生的科技問題當中處于核心地位，比如利用地震波進行地質勘探、使用電磁波進行雷達聲納遙感測量和使用超聲波與電磁波進行混合醫學成像等。這一類問題是工業與應用數學的關鍵組成部分，也是日益受到重視的其他學科與數學科學交叉研究中的重要課題。

因此，邱凌云申請到了國家自然科學基金面上項目“基于最優輸運理論的波動方程反問題的理論分析和算法研究”，希望能建立新的數學模型、開發新的算法，為相關研究提供更好的科技支撐。

邱凌云介紹說，以地質成像為背景的波動方程反問題往往伴隨有非線性強、不適定性顯著、計算規模巨大等特點，其通常使用基于梯度下降的迭代方法求解相應的最優化問題。這一點直接體現在即使是使用沒有噪聲的計算機模擬數據，反問題對應的目標泛函也含有非常多的局部極小元。因此，改善最優化問題目標函數的凸性、避免局部極小元及提升大規模反演計算的效率是波動方程反問題研究中的關鍵問題。

“首先，我們從最優輸運理論出發，提出新的數據變換方式，提升反問題的穩定性與凸性，擴大反問題的收斂半徑。同時，我們還深入研究數據當中的噪聲及測量時的非精確性對最優輸運度量的擾動，系統地提出快速穩定的求解方案。”邱凌云在研究中發現，在波動方程反問題中，用韋氏距離衡量信號間的距離能更加準確地反映速度模型的誤差對于數據中走時信息的影響，于是他幾乎沒有猶豫，將韋氏距離的方法引入，為波動方程反問題相關研究打開了新局面。

但很快，邱凌云發現韋氏距離的引入給波動方程反問題的研究也帶來了新的挑戰和機遇。這個方向上目前的難點和研究重點在于韋氏距離的應用給數據帶來了更嚴苛的限制條件，尋找合適的數據變換方式及對相應性質給出嚴格的數學表達和進行數學分析是研究的關鍵內容。

為此，邱凌云利用卷積神經網絡進一步提高算法的性能和準確性。卷積神經網絡是從深度感知模型（deep class aware model）修改而來，這一模型沒有使用完全連接層，因此在訓練步驟中只需要較少的訓練樣本，并且在推理步驟中需要較少的存儲器和較低的計算復雜度。

目前，邱凌云研究了基于最優輸運度量的全波形反演，解決了梯度的唯一性問題，分析了多頻數據的穩定特性，提出了適用于復雜數據的一個非負校正函數的光滑版本（softplus）編碼方法，為基于最優輸運度量的全波形反演提供理論基礎的同時提供了一種高效可靠的地質反演算法，也為我國能源安全的能源儲量探測方面提供了理論支撐和技術支持。其主要成果發表在美國工業與應用數學學會（Society for Industrial and Applied Mathematics，簡稱SIAM）系列期刊、《反問題》（Inverse Problems）等雜志上。

數學的魔力

人體的超聲波檢查和地球的石油勘探，這兩件事情看上去沒有任何關聯，但在數學領域，卻是用同一個聲波方程來控制的。而這正是邱凌云感嘆的數學的魔力，“數學的魔力可以把具體的事情抽象化，我在某個方程上做出的研究成果，很有可能就適用于兩個看似毫無關聯的領域。”這樣的魔力，讓邱凌云的目光投向了數學之外的全新領域。

2020年7月，“十三五”重點研發計劃項目“基于水聯網全數字治水關鍵技術研究與示范”啟動。邱凌云在其中負責的子項目是“水聯網理論架構的數學表達與控制方程”。水聯網是在物聯網概念基礎上提出的，是基于水資源供需與配送具有物流的典型特征而發展的。在水聯網上，需要同時表達水運動的物理過程和水信息的流通過程，需將不同來源、性質、尺度的水信息數據同化和轉化，以滿足模擬、預報、調配、評價的要求;需將不同過程、要素、尺度的數學模型耦合集成，以描述水資源系統變化;需以功能為中心、以事件驅動為后臺、云端處理為支撐，以綜合模型計算和進行結果分析。

為此，邱凌云計劃從數學理論出發，提煉工程技術的數學模型表達，將水聯網架構系統化和理論化，為精簡工程試驗，因地制宜地研發和推廣應用技術。

“我需要做的就是建立一個數學模型。比如水污染源的溯源問題，能不能在短時間內通過沿岸的測量，把誰投放了污染，投了多少計算出來，并精準找到污染來源，然后再通過各種處罰手段，進行嚴懲，以更好地保障水的安全。”在邱凌云看來，一個領域一旦引進了數學，將具體的問題抽象化，那么它就變成一個能夠用公式進行精準預測的領域。

除此之外，邱凌云也在關注著近幾年新興的非視域成像技術。在日常生活中，由于光沿直線傳播，人們無法觀察到視線之外的場景（非視域），例如隱藏在拐角后、障礙物后的物體等。但非視域成像技術打破了這一限制，使非視域場景“映入眼簾”，人們的視野獲得了前所未有的拓展。

然而，非視域成像的過程中，激光經多次漫反射后的回波極弱（僅為光子級），信噪比極低，同時非視域成像問題具有多解性，嚴重影響了成像質量。尤其對于快速探測場景，現有算法重建的物體往往具有非常模糊的邊界，并伴有很強的噪聲，給非視域探測技術的發展和未來應用帶來了很大的挑戰。

因此，邱凌云與合作者共同提出了一種基于信號與目標聯合正則化（Signal-object collaborative regularization，SOCR）的非視域重建方法。這一成果以《具有信號-對象協同正則化的非視域重建》（Non-line-of-sight reconstruction with signal-object collaborative regularization）為題發表在《光：科學與應用》（Light： Science & Applications）上。

邱凌云與合作者利用兩個基于目標自適應學習形成的字典，分別刻畫物體的局部結構與非局部相關性，所提取的物體特征可用于進一步的智能識別和分類。新方法“拍”出的照片中，非視域物體具有清晰的局部細節和邊界輪廓，而且成像區域內幾乎不含背景噪聲，而且在誤差控制上明顯優于現有方法。通過比較，邱凌云與合作者、學生提出的SOCR方法與此前主流方法（D-LCT）相比，新方法的失真像素數量大幅降低了85%，深度方向均方誤差降低了41%，最大法向角度誤差降低了56%，平均法向角度誤差降低了44%。

邱凌云介紹說，他與合作者提出的非視域目標“高清”重建方法的通用性、兼容性強，有望加速非視域成像技術在自動駕駛、災難救援、安防反恐、遙感偵察等領域的實際應用和推廣。

科學的背后

如果問邱凌云，科學的背后是什么，他一定會說：“科學的背后是數學。”而應用數學工作者在邱凌云的認知里更像是信使，連接著基礎數學和工程應用，把一方語言翻譯給另一方。

“應用數學花很多時間在建模上，因為要把具體的工作提煉成數學語言，這個提煉的過程很漫長，很多人都不看到，所以研究應用數學，是需要很大決心的事情。你不能把高度抽象的數學語言直接說給做工程的人，他是聽不懂的，反過來，我們也不能把具體的工程難點不加以凝練就交給數學家，他們會問數學在哪里，所以應用數學在中間起到溝通的作用。”邱凌云十分認真地解釋道。

除了在科學的世界里真切地感受到數學的重要意義外，邱凌云也從身邊的大家、老師的身上，耳濡目染地體會到數學研究的精神。

邱凌云在大學時，跟著張震球老師“啃”過許多艱深的書，花了很多時間讀懂書上的內容，完成了本科的畢業設計。讀研時，他在天津大學跟著姚妙新老師第一次接觸偏微分方程的反問題研究，還讀了邊馥萍老師寫的《數學建模》一書，從中學到了很多。邱凌云還跑去南開大學旁聽數學大家陳省身的課，聽著他給本科生授課，雖然都是些基本的知識，依然受益匪淺。“一次會議上，陳先生談了關于六維球面上復結構存在性的問題，這個問題實際上跟我的領域不相關，但我到現在都記得那個題目是什么，印象特別深。”

在邱凌云的心里，當時的陳省身先生已經93歲高齡，但他依然非常關心那些還沒有解決的數學問題，而且很喜歡和學生們聊天，經常和學生們一起討論問題。“不見得說，他們告訴了我數學的什么獨門秘籍，只是從他們的身上，我學到了對數學治學的嚴謹。就像人們常說的，高山仰止，景行行止，雖不能至，但心向往之。我只能不斷激勵自己，努力向前，不辜負老師對我的期望。”

面向未來，邱凌云堅定地相信，隨著計算機技術的迅猛發展，數學理論與方法的不斷擴充，都將使數學成為當代高科技的一個重要組成部分和思想庫，所以在眾多科技成果的背后發揮至關重要作用的反問題研究，也一定能在未來大有可為。他將繼續反問題研究，挖掘其在水利、非視域成像等方面的重要作用，期待能為國家貢獻綿薄之力。

（責編：蘇寒山）