變式教學在數學教學中的應用原則與方法

李明哲

[摘? 要] 隨著新課程標準的使用，課堂教學方式在不斷地改進創新.實踐證明，變式教學法是一種行之有效的教學手段，它能靈活學生的思維，深化學生對知識的理解，幫助學生建立完整的認知體系. 文章認為變式教學在應用時應遵循主動性、動機性以及漸進性原則，并對變式教學在概念、公式、定理、法則，解題教學中的應用談一些看法.

[關鍵詞] 變式教學;概念;解題;思維

變式是指教師通過對數學事物的一些非本質特征、條件或結論的改變，引導學生從這些表面的變化中感知數學不變的本質. 一般通過解決一個問題，形成解決一類問題的能力. 初中階段的學生，受心理發展特點的限制，對一些抽象性、概括性強的知識理解存在一定難度，而變式的應用，不僅能深化學生對知識深度的理解，還能有效地拓寬學生的思維，明晰知識間的聯系，達到觸類旁通的目的.

變式教學的原則

1. 主動性原則

波利亞認為：學習最好的方式是學習者自主去發現問題，探索問題并解決問題. 為了實現學習的高效性，學生可在已有的條件下，盡可能去發現自己想要的學習材料.[1]新課標也一再強調學習應以學生為主體，鼓勵學生在自主探索、合作探究中獲得新知. 鑒于此，變式教學也應以“主動性原則”為根本，引導學生積極、主動去探索、發現.

2. 動機性原則

眾所周知，興趣對學習有著直接影響. 學生面對自己感興趣的內容，會產生探索動機，從而積極地投身于對知識的研究中. 當學習材料具備趣味性與生動性等特征時，會給予學生大腦最佳的刺激，讓學生帶有強烈的探究欲來研究，體驗探究的樂趣與學習的成就感. 因此，變式教學也應以激發學生的最佳學習動機為基礎，設計對學生胃口，又處于學生最近發展區內的問題，讓學生積極探索，獲得良好的情感體驗.

3. 漸進性原則

俗話說“一口吃不成個大胖子”. 學習講究的是循序漸進，切不可操之過急. 變式教學應從學生認知發展的規律出發，結合學生實際水平與教學內容的特點，由淺入深地設計變式，讓學生如同爬樓一樣，沿著問題的臺階拾級而上，實現思維與能力的螺旋式提升，從真正意識上實現數學核心素養的落地.

變式教學的應用

縱觀新課改后的變式教學法的應用情況，仍存在著一些不足. 如脫離學生認知基礎的變式拓展，讓學生感到難以理解，從而喪失了探究興趣;跨度太大的變式問題，讓部分學生望而生畏;變式量太大或太難，使得學生從新鮮感步入厭煩的狀態. 鑒于此，筆者認為變式教學在初中數學教學中的應用，應做到低起點、小步子為主，從全局出發照顧到每個學生的認知發展.

1. 應用于概念教學中

概念是思維的起點，是教學的核心. 但概念一般都比較抽象，學生理解與掌握起來有一定的困難. 這就需要教師在課程標準的指導下，創新教學方式，選擇學生更容易理解的手段進行教學，以提高教學效率. 變式教學法應用到概念的教學中，不僅能突出概念的本質，還能提高學生對概念內涵的理解.

從心理學的多元表征理論出發，經實踐探索，總結出概念變式教學模式基本遵循以下流程：①創設情境，引入概念;②運用多元表征，凸顯概念本質;③結合“現象圖示”理論，聚焦概念的特征，進行辨析;④多層次設計問題，靈活應用概念[2].

例1? 觀察以下幾組角，判斷∠1、∠2是否屬于對頂角？

解決本題之前，學生已經通過“標準圖形”獲得了對頂角的概念. 為了深化學生的理解，讓學生從根本上掌握對頂角的概念. 教師通過反例變式，凸顯對頂角的內涵.

對頂角反例變式的應用，不僅消除了問題中非本質性因素的干擾，還劃清了對頂角與其他類似概念的界限，突出了對頂角概念的外延與內涵，幫助學生實現了對概念本質的深刻理解，為概念的靈活應用奠定了堅實的基礎.

概念教學中反例變式的應用一般源自概念間的邏輯關系和學生常見的一些錯誤，通過反例變式的應用，一方面能幫助學生理清類似概念間的關系，另一方面還可以澄清學生概念理解時的易混淆點，從而更加確切、堅定、深刻地理解概念的本質.

2. 應用于定理、公式或法則的教學中

數學知識體系的構建，依賴于公式、定理或法則等的演算與推理. 想要辨析相應的公式、定理或法則等，可應用等價轉換或非等價轉換兩種方式. 等價轉換是指將定理、公式或法則通過變式，形成等價命題，再將未知的內容轉化已知;不等價轉換就是將定理、公式或法則通過變式，變成似是而非的命題，讓學生在關鍵性的詞句中，獲取信息，為形成科學、嚴謹的邏輯推理能力奠定基礎.

例2? 已知a2+b2=7，且ab=1，分別求（a+b）2與（a-b）2的值.

本題并不難，直接套用完全平方公式，可快速求解. 為了深化學生對公式的記憶，教師可引導學生作以下變式訓練.

變式1：已知（a+b）2=7，（a-b）2=3，分別求a2+b2與ab的值.

分析：根據完全平方公式，可將本題變形為（a+b）2-（a-b）2=4ab，那么7-3=4ab，由此可確定ab=1，則a2+b2=（a+b）2-2ab=5.

變形公式，不僅強化了學生對完全平方公式的理解，還讓學生學會靈活應用該公式進行解題，真可謂一箭雙雕.

變式2：已知+x=3，求+x2的值.

分析：通過變式1的解題發現，變形公式能給解題帶來便利. 本題從完全平方公式出發+x2=

+x2-2. 引導學生觀察字母，從它們的不同中，對公式進行變形的做法，使得學生體會到數學是科學、嚴謹的學科，注重的是數學本質而非形式性的東西.

有些學生題目做得不少，進步卻不明顯. 究其主要原因還在于沒有做到公式、定理或法則應用的靈活變通. 從表面上看，是記住了相關公式或定理，但運用時卻不會隨機應變，導致“一聽就會，一做就錯”的現象. 而變式的應用，則有效地增強了學生的應變能力，為靈活解題夯實了基礎.

3. 應用于解題教學中

解題能力是一個學生數學綜合素養的體現. 在“減負增效”的教育背景下，想要提高學生的解題能力，變式的應用必不可少. 解題中的變式一般分為方法變式與思維變式兩類，方法變式是指針對一道題或一類題，選擇不同的切入點進行變式，讓學生在視覺沖突中，激發情感，進行深入探究與反思;而思維變式是指多種變式的綜合，如問題的變化（多題一解）或解題方法的變化（一題多解）等，學生的思維隨著解題過程的變化而變得更加嚴謹、深刻、靈活[3].

例3? 已知點A（-2，y）與點B（-1，y）均位于反比例函數y=的圖像上，求y，y的大小關系.

學生經過自主探究，提出三種解題方法：①分別將點A、B代入到y=中，可解得y=-2，y=-4，顯然y>y;②根據k=4>0，可知位于同一象限內，y的值會隨著x的變大而減少，因為-2<-1，所以y>y;③在草稿紙上畫出y=的圖像，分別標出點A，B，通過觀察圖像，即可獲得y>y.

這三種方法分別涉及代入法、函數增減性與圖像法，此解題過程體現了一題多解的變式形式. 若想激發學生的思維，培養學生的創新能力，還可以將原問題進行變式.

變式1：已知點A（-2，y）與點B（-1，y）均位于反比例函數y=（k<0）的圖像上，求y，y的大小關系.

分析：本題點A，B位于同一象限，因此可考慮從增減性或圖像法兩個角度來進行思考與判斷.

變式2：已知點A（x，y），B（x，y），且x<0

分析：本題根據題設條件，可確定點A，B并不在一個象限內，因此可根據圖像來比較它們的大小.

變式3：已知點A（x，y），B（x，y），且x

以上幾個變式，都是在原題的基礎上，通過部分條件的變化求結論. 隨著問題的多元化發展，學生的思維寬度與深度都得到有效鍛煉.

總之，變式教學是踐行“減負增效”理念的基礎，是提高學生學習興趣，形成良好思維品質的關鍵. 它可應用于教學的各個環節，讓學生在靈活多變的問題中，成為學習真正的主人，為核心素養的形成與發展奠定基礎.

參考文獻：

[1]G·波利亞. 怎樣解題——數學思維的新方法[M]. 涂私，馮承天，譯. 上海：上海科技教育出版社，2007.

[2]曹才翰，章建躍. 中學數學教學概論[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[3]孫孜. 變式教學應注意的幾個問題[J]. 教育實踐與研究，2009（06）：37-39.