進行不等式運算“同解變形”是關鍵

摘要：從一道題的解答錯誤點出發，剖析錯誤原因，給出幾種解法，強調不等式運算中 “同解變形”的重要性.

關鍵詞：不等式運算;“同解變形”;關鍵

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）28-0086-03

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：田加貴（1963.1-），男，四川省樂山人，本科，中學高級教師，從事中學數學教學研究.

高一學生在剛進入高中學習時，學習了一些簡單的不等式知識，對于不等式的性質和運算往往用等式的性質和運算來操作，而且出現了錯誤后還不清楚錯在什么地方，筆者近期在為學生布置課后練習時，有這樣一道練習題：

題目已知實數a，b滿足-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4.

（1）求實數a，b的取值范圍;

（2）求3a-2b的取值范圍.

對于這道練習題，有的學生做出了結果，但解答是不正確的，有些學生解答的結果本身就是錯誤的，這些學生還不知道是為什么，自已也找不出原因，這究竟是怎么回事呢？下面列舉兩種典型的錯誤作一點分析，并對原題給出幾種解答，僅供參考.

錯解1（1） 因為 -3≤a+b≤2，①

-1≤a-b≤4，②

①＋②，得-4≤2a≤6.

即-2≤a≤3.

所以實數a的取值范圍為［-2，3］.

由②得 -4≤-a+b≤1. ③

①＋③，得 -7≤2b≤3.

即-72≤b≤32.

所以實數b的取值范圍為［-72，32］.

（2） 由（1）有 -2≤a≤3.

即-6≤3a≤9 .④

由（1）有 -7≤2b≤3 .

即-3≤-2b≤7 .⑤

④＋⑤，得-9≤3a-2b≤16.

所以3a-2b的取值范圍為［-9，16］.

錯解2 （1） 同上（略）.

（2） 由（1）有 -2≤a≤3. ⑥

由②得-2≤2a-2b≤8. ⑦

⑥＋⑦，得-4≤3a-2b≤11.

所以3a-2b的取值范圍為［-4，11］.

錯誤原因1對于（1）問，在進行一些同向不等式相加時， 不是同解變形.

由-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4得到-4≤2a≤6，-7≤2b≤3，

即-2≤a≤3，-72≤b≤32.

由于結果是單獨要求實數a，b的取值范圍，所以無可厚非.對于（2）問，由于在運算中，應用了（1）問的非同解變形的結果或再一次進行了非同解變形運算，從而造成錯誤解答. 也就是說不應當利用擴大了范圍的結果或行為進行后續運算.

錯誤原因2前一解法的（2）問，屬于推理錯誤，結果錯誤；后一解法的（2）問，屬于推理錯誤，結果正確.

錯誤原因3前一解法的（2）問，得到

-2≤a≤3，-72≤b≤32，

不妨取a=3， b=1，則有a+b=4.

顯然不滿足-3≤a+b≤2.

后一解法的（2）問，也是利用了由

-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4，

得到-4≤2a≤6.即-2≤a≤3.

這種在非同解變形的條件下，表面上得到了正確結果，但這只是一種巧合而已.

因為a并不能在［-2，3］上任意取值，這是由于b還不確定；再者如果按照這種推理，由-2≤a≤3 得-3≤-a≤2，

又由-3≤-a≤2和-3≤a+b≤2可得-6≤b≤4，

這樣由-2≤a≤3和-6≤b≤4可得-8≤a+b≤7，這還是-3≤a+b≤2嗎？

錯誤原因4得到的-2≤a≤3，-72≤b≤32，不表示題中的實數a，b可各自在［-2，3］和［-72，32］內任意取值.

錯誤原因5得到的-2≤a≤3，-72≤b≤32，應當理解為：

對于任意給定的

（a+b）∈［-3，2］和（a-b）∈［-1，4］，

存在a∈［-2，3］和b∈［-72，32］， 使得-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4.

正解1（1） 同上（略）.

（2）（待定系數法）

設3a-2b=m（a+b）+n（a-b）

=（m+n）a+（m-n）b，

令m+n=3，m-n=-2，

得m=12，n=52.

所以3a-2b=12（a+b）+52（a-b）.

由-3≤a+b≤2，得

-32≤12（a+b）≤1.

由-1≤a-b≤4，得

-52≤52（a-b）≤10.

所以-4≤12（a+b）+52（a-b）≤11.

所以3a-2b的取值范圍為［-4，11］.

正解2（1） 同上（略）.

（2）（換元法）

設a+b=A， a-b=B， 則

-3≤A≤2，-1≤B≤4.

由a+b=A，a-b=B，

得a=A+B2，b=A-B2.

所以3a-2b=3·A+B2-2·A-B2=12A+52B.

由-3≤A≤2得

-32≤12A≤1.

由-1≤B≤4得

-52≤52B≤10.所以 -4≤12A+52B≤11.

所以3a-2b的取值范圍為［-4，11］.

正解3（1） 同上（略）.

（2）（構造法）

由-3≤a+b≤2有

-94≤34a+34b≤32.

由-1≤a-b≤4有

-34≤34a-34b≤3.

構造函數f（x）=34ax2+34bx，則

F（x）=f（x）x=34ax+34b（x≠0）.

得F（x）=34ax+34b為直線方程.

故（-1，F（-1）） ， （1，F（1））， （-32，F（-32））為直線上的三點，

因為以上三點其任意兩點連線斜率相等， 即

F（-32）-F（1）-32-1=F（-1）-F（1）-1-1.

化簡，得F（-32）=54F（-1）-14F（1）.

因為F（-1）=f（-1）-1，F（-32）=f（-32）-32，

F（1）=f（1）1，

所以 f（-32）-32=F（-32）=54F（-1）-14F（1）=-54f（-1）-14f（1）.

故f（-32）=158f（-1）+38f（1）.

而 -34≤f（-1）≤3， -94≤f（1）≤32，

所以 -4532≤158f（-1）≤458，

-2732≤38f（1）≤916.

所以 -94≤f（-32）≤9916.

即-94≤916（3a-2b）≤9916.

即-4≤3a-2b≤11.

正解4 （1） 同上（略）.

（2）（數形結合法）

因為在平面直角坐標系aOb中，

滿足不等式-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4的實數a，b的值構成的點（a，b）形成圖1陰影區域.

圖1圖2

令k=3a-2b，

由-3=a+b，-1=a-b，

得a=-2，b=-1.

由a+b=2，a-b=4，

得a=3，b=-1.

當a=-2，b=-1時，得

kmin=3×（-2）-2×（-1）=-4.

當a=3，b=-1時，得

kmax=3×3-2×（-1）=11.

所以 -4≤k≤11.

即-4≤3a-2b≤11.

從解法4，我們很容易看出，滿足不等式-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4的實數a，b的值構成的點（a，b）只能是（圖1）中陰影部分內的點，而問題（1）得到的-2≤a≤3，-72≤b≤32構成的點（a，b）還可能是（圖2）中陰影部分內的點，這些點在我們進行不等式變形運算過程中乘虛而入，比如a=-2，b=32時，3a-2b=-9，明顯-9［-4，11］，所以，在不等式運算過程中，由于不等式的算理算法并不象等式運算一樣很容易做到“同解變形”， 雖然許多運算都符合不等式的運算性質，但是稍不留心就會出錯，因些，在進行不等式運算時，需要特別注意“同解變形”這個關鍵問題.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.