基本不等式中“1”的幾種妙用

摘要：基本不等式問題一直是高考命題重點，考查形式多樣，對于學(xué)生的邏輯推理，形式運算水平要求比較高.在實際解題中，需要重點關(guān)注“一正二定三相等”，因此一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個障礙.但是一個小小的自然數(shù)“1”卻能在基本不等式的解題中發(fā)揮意想不到的重要作用，本文將以例題淺要地分析“1”在解決此類問題中的妙用，幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)障礙.

關(guān)鍵詞：基本不等式；數(shù)學(xué)解題；巧用“1”

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）28-0110-03

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：李佳賓（1999-），男，遼寧省鐵嶺人，碩士，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

1 巧乘“1”，變換形式

例1已知a>0，b>0，且有a+b=1，求3a+5b的最小值.

分析通過觀察題目中所給信息和所求問題，可初步判斷此題考查基本不等式，若直接利用基本不等式的公式得3a+5b≥215ab，ab≤12，此時求得最值為415.這其實是學(xué)生在求解基本不等式問題中經(jīng)常會出現(xiàn)的問題，整個過程看似十分流暢，但是忽視了求解此題時利用了兩次基本不等式，兩次等號取等的條件是不同的，因此這樣求解是不正確的.此時就可以充分利用代數(shù)式乘1，代數(shù)式的值不變，巧乘“1”來改變代數(shù)式的形式將不等式右邊的a和b消去，使得不等式右邊成為一個常數(shù)項，以滿足基本不等式求解的條件.

解析3a+5b=3a+5ba+b

=3+3ba+5ab+5

≥8+23ba·5ab

=8+215，

當且僅當3ba=5ab時等號成立，即3a+5b的最小值為8+215.

評注此題為巧乘“1”題目的最基礎(chǔ)題目，此類題目的特點為：（1）首先滿足基本不等式求解的條件；（2）兩個等式中變量均以相同的表現(xiàn)形式出現(xiàn)；（3）已知數(shù)值的代數(shù)式和所求代數(shù)式中，變量分別位于分子分母的位置上.需要注意的是，由于我們發(fā)現(xiàn)直接利用基本不等式求解出現(xiàn)變量無法消去的情況，巧乘“1”的目的是構(gòu)造出mba+nab（a，b為大于0的兩個變量），以滿足積定和最小進而求解.

變式1已知a>0，b>0，且有2a+1b=3，求2a+3b的值.

分析此題為例1的變式，和例1相比，首先是兩種代數(shù)式的位置發(fā)生變化，這是無關(guān)緊要的，其次給出的是2a+1b=3，并不是等于1，所以需要將這個代數(shù)式進行變形為132a+1b=1，構(gòu)造“1”，然后按照例1的步驟進行求解即可.變式2已知a，b為正實數(shù)，并且12a+b+1a+2b=1，則a+b的最小值為.

分析觀察此題發(fā)現(xiàn)基本滿足巧乘“1”的所有要求，只是12a+b+1a+2b=1這個代數(shù)式中出現(xiàn)了兩個變量的和，變量的呈現(xiàn)方式不相同，如果我們直接相乘的話勢必不會構(gòu)造出mba+nab的形式

，此時，需要我們利用換元法改變變量，構(gòu)造與例1相同的形式.

解析令M=2a+b，N=a+2b，

則由題意有1M+1N=1，（M，N均大于0）.

所以a+b=13M+13N

=13M+N1M+1N

=131+NM+MN+1

≥132+2NM·MN

=43，

當且僅當M=N時，即2a+b=a+2b，即a=b=23時，a+b有最小值為43.

變式3已知a，b為正實數(shù)，并且1a+2+1b+1=13，則a+b的最小值為.

分析此題和變式2類似，由于分母不是單獨的變量存在，如果對1a+2+1b+1=13這個等式左右乘以3構(gòu)造“1”再相乘，仍然不會出現(xiàn)mba+nab的形式，這里我們同樣可以采用變式2中的換元法進行求解，但是對于此題，我們也可以選擇另外一種求法，對所求代數(shù)式進行變換，使其變量的表現(xiàn)形式與等式中變量的表現(xiàn)形式保持一致.

解析因為1a+2+1b+1=13，

所以3a+2+3b+1=1.

所以a+b =a+2+b+1-3

=a+2+b+1-33a+2+3b+1

=3+3b+1a+2+3a+2b+1+3-3≥9，

當且僅當3b+1a+2=3a+2b+1時，a+b取得最小值為9.

2 巧湊“1”，迎刃而解

例2若0

分析第一眼看到此題，可能大部分學(xué)生的求解方式會和例1犯同樣錯誤，因為題目中并沒有給出其他的已知信息，學(xué)生難以找到解題的突破口，但是經(jīng)過我們觀察會發(fā)現(xiàn)2a2+11-a2中兩個分母之和為1，即此題的隱含條件為a2+1-a2=1，可以通過巧湊“1”之和，便可以輕松發(fā)現(xiàn)此題求解方法.

解析2a2+11-a2=2a2+11-a2a2+1-a2

=2+2（1-a2）a2+a21-a2+1≥3+22，

當且僅當2（1-a2）a2=a21-a2時，等號成立，2a2+11-a2取得最小值為3+22.

例3已知a，b為正實數(shù)，并且2a+b-4ab=0，則a+b的最小值為？

分析此題在課堂測驗中，學(xué)生的真實得分率很低，相比于變式1來講，此題所給的條件十分隱匿，看似此題和“1”毫無關(guān)系，但是經(jīng)過變形可得14a+12b=1，至此，就和我們前面講的例1一樣了.高中更加考查學(xué)生的運算能力，更加重視學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，因此更多的情況下基本不等式的“1”往往藏身于題干中，這就需要學(xué)生解題的靈活和變通了.

3 巧變“1”，化繁為簡

例4已知a>0，b>0，且a+b=1，求1a+ab的最小值.

分析本題看似和例1一樣，仔細觀察會發(fā)現(xiàn)，后面的代數(shù)式中出現(xiàn)的是ab而不是1b，此時我們不能利用巧乘“1”來求解，由于分子分母同時出現(xiàn)變量，無法構(gòu)造出僅存在mba+nab這樣的形式，此時可以利用巧變“1”進行求解題目

解法1因為a+b=1，

所以a=1-b.

所以1a+ab

=1a+1-bb

=1a+1b-1a+b≥3，

即當a=b=12時，1a+ab取得最小值為3.

解法2因為a+b=1，

所以1a+ab=a+ba+ab

=1+ba+ab≥3，

即當a=b=12時，1a+ab取得最小值為3.

例5（2020年江蘇卷12題）已知5x2y2+y4=1（x，y∈R），則x2+y2的最小值為.

分析此題雖出現(xiàn)數(shù)字1的等式，但是發(fā)現(xiàn)變量的形式并不符合巧乘“1”的形式，仔細觀察題目發(fā)現(xiàn)，此題多次出現(xiàn)關(guān)于變量y的表達式，于是考慮利用等式將變量x用y表示出來.

解析由5x2y2+y4=1可得x2=1-y45y2.

因為x2≥0，所以0

所以x2+y2=1-y45y2+y2

=15y2+4y25≥45，

當且僅當15y2=4y25，即y2=12時等式成立，故x2+y2的最小值為45.

總結(jié)巧用“1”在解決基本不等式問題中有著重要的作用，但是對于學(xué)生來講卻一直是一個難點，究其原因，學(xué)生更愿意去記住一個固定的解題技巧，進而慢慢地就形成了思維定勢.基本不等式解題的關(guān)鍵還是要關(guān)注“一正二定三相等”的條件，學(xué)生要有比較強的審題意識和目標意識，結(jié)合具體的題型，選擇最合適的“1”的巧用方法.

參考文獻：

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[2] 陳啟南.靈活變通 巧解不等式——例談“1”在基本不等式中的“七個巧用”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2017（23）：4-6.

[3] 李素文.例析基本不等式中“1”的代換及應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化（高考數(shù)學(xué)），2018（03）：21-22.