巧思維切入妙技巧類比

摘要：涉及圓錐曲線中的離心率問題，是歷年高考中的常見考點之一，文章結合一道模擬題的實例，發散思維，多角度切入，類比拓展，引領并總結破解技巧與應用．

關鍵詞：橢圓；離心率；二次函數；圓；三角

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）28-0101-03

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：廖昕（1990.1-），女，甘肅省蘭州人，碩士，中學二級教師，從事高中數學教學研究.

涉及圓錐曲線離心率的求值或取值范圍問題，變化多端，破解時往往思維多樣、策略多變、技巧多樣，解決問題時或一種策略獨領風騷，或多種策略齊心協力，或另辟蹊徑，合理轉化，巧妙破解．

1 問題呈現

問題如圖1，設雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，右頂點為A，M為雙曲線上一點，且∠MF2A=∠MAF2=2∠MF1A，則雙曲線的離心率為.

此題以雙曲線為問題背景，通過雙曲線的兩個焦點與一個頂點，以及雙曲線上的一個點，組成一個復合的三角形，利用相關內角之間的相等、倍數關系等合理構建，進而確定雙曲線的離心率的值．

2 問題破解

解法1（三角函數定義+余弦定理法）

因為∠MF2A=∠MAF2=2∠MF1A，

則有|AM|=|MF2|=|AF1|=c+a.

結合雙曲線的定義，可得

|MF1|=2a+|MF2|=3a+c.

而cos∠MAF2=|AF2|2|AM|=c-a2（c+a），

利用余弦定理有

cos∠MAF1=|AM|2+|AF1|2-|MF1|22|AM|·|AF1|

=2（c+a）2-（3a+c）22（c+a）2.

由cos∠MAF2+cos∠MAF1=0，可得

c-a2（c+a）+2（c+a）2-（3a+c）22（c+a）2=0.

整理，得c2-ac-4a2=0.

即e2-e-4=0.

解得e=1±172.

由于e>1，則有e=1+172.

解法2（余弦定理法）

因為∠MF2A=∠MAF2=2∠MF1A，

則有|AM|=|MF2|=|AF1|=c+a.

結合雙曲線的定義，可得

|MF1|=2a+|MF2|=3a+c.

利用余弦定理有

cos∠MF1A=|MF1|2+|AF1|2-|AM|22|MF1|·|AF1|

=|MF1|2+|F1F2|2-|MF2|22|MF1|·|F1F2|.

故（3a+c）2+（c+a）2-（c+a）22（3a+c）（c+a）

=（3a+c）2+（2c）2-（c+a）22（3a+c）×2c.

整理得（c-a）（c2-ac-4a2）=0.

即c2-ac-4a2=0.下同解法1.

解法3（相似三角形法）

因為∠MF2A=∠MAF2=2∠MF1A，

則有|AM|=|MF2|=|AF1|=c+a.

結合雙曲線的定義，可得

|MF1|=2a+|MF2|=3a+c.

如圖2，過點M作MN⊥x軸，垂足為點N，過點A作AH⊥MF1，垂足為點H，則有

|AN|=|NF2|=c-a2，|ON|=a+c2.

易得Rt△MF1N∽Rt△AF1H.

可得|NF1||MF1|=|HF1||AF1|.

則有c+a+c23a+c=3a+c2c+a.

整理，得c2-ac-4a2=0.下同解法1.

解法4（勾股定理法）

因為∠MF2A=∠MAF2=2∠MF1A，

則有|AM|=|MF2|=|AF1|=c+a.

結合雙曲線的定義，可得

|MF1|=2a+|MF2|=3a+c.

過點M作MN⊥x軸，垂足為點N，過點A作AH⊥MF1，垂足為點H，

則有

|AN|=|NF2|=c-a2，|ON|=a+c2.

利用勾股定理，在Rt△AMN中，可得

|MN|2=|AM|2-|AN|2=（c+a）2-（c-a2）2.

又在Rt△F1MN中，可得

|MN|2=|MF1|2-|NF1|2=（3a+c）2-（c+a+c2）2.

故（c+a）2-（c-a2）2=（3a+c）2-（c+a+c2）2.

整理，得c2-ac-4a2=0.下同解法1.

解法5（二倍角公式法）

因為∠MF2A=∠MAF2=2∠MF1A，

則有|AM|=|MF2|=|AF1|=c+a.

結合雙曲線的定義，可得

|MF1|=2a+|MF2|=3a+c.

過點M作MN⊥x軸，垂足為點N，則有

|AN|=|NF2|=c-a2，|ON|=a+c2.

而cos∠MF2A=|NF2||MF2|=c-a2（c+a），

cos∠MF1A=|NF1||MF1|=c+a+c23a+c=a+3c2（3a+c），

而∠MF2A=2∠MF1A，結合二倍角公式可得

c-a2（c+a）=2[a+3c2（3a+c）]2-1.

整理，得c2-ac-4a2=0.下同解法1.

解法6（二倍角三角形性質法）

因為∠MF2A=∠MAF2=2∠MF1A，

則有|AM|=|MF2|=|AF1|=c+a.

結合雙曲線的定義，可得

|MF1|=2a+|MF2|=3a+c.

在△MF1F2中，∠MF2A=2∠MF1A，

結合二倍角三角形性質，可得

（3a+c）2=（c+a）（c+a+2c）.

整理，得c2-ac-4a2=0.下同解法1.

3 變式拓展

探究1保留題目創新情境，改變圓錐曲線的類型，將原來的雙曲線問題類比到橢圓問題，保留相關條件以及角之間的關系，同樣可以確定橢圓的離心率問題，得到以下相應的變式問題．

變式1設橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，右頂點為A，M為橢圓上一點，且∠MF2A=∠MAF2=2∠MF1A，則橢圓的離心率為.

解析因為∠MF2A=∠MAF2=2∠MF1A，則有|AM|=|MF2|=|F1F2|=2c.

結合橢圓的定義，可得

|MF1|=2a-|MF2|=2a-2c.

在△MF1A中，∠MAF2=2∠MF1A，

結合二倍角三角形性質，可得

（2a-2c）2=2c（2c+a+c）.

整理，得c2+5ac-2a2=0.

即e2+5e-2=0，解得e=-5±332.

由于0

探究2保留題目的創新背景，改變題目部分條件，以等腰三角形以及對應的線段長度等為背景來創設，進而確定相應雙曲線的離心率．

變式2設雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，右頂點為A，M為雙曲線右支上一點，|MF1|=5a，若△F2MA是以∠AMF2為頂角的等腰三角形，則雙曲線的離心率為.圖3

解析結合雙曲線的定義，可得

|MF1|=2a+|MF2|=5a，解得|MF2|=3a.

如圖3，取AF2的中點N，由△F2MA是以∠AMF2為頂角的等腰三角形，可知MN⊥F1F2.

可知|NF1|=3c+a2，|NF2|=c-a2.

利用勾股定理，可得

25a2-（3c+a2）2=9a2-（c-a2）2.

整理，得c2+ca-8a2=0.

即e2+e-8=0，解得e=-1±332.

由于e>1，則有e=33-12.

4 解后反思

4.1 思維發散，方法歸納

破解以雙曲線為載體的圓錐曲線問題，利用圓錐曲線的定義確定相應的線段長度，利用條件中角之間的關系，可以考慮從解三角形思維、平面幾何思維、三角函數思維、特殊三角形思維、解析幾何思維以及圓錐曲線的定義思維等來切入，結合平面幾何、余弦定理、三角函數以及距離公式等知識，歸納相應的方法來分析，達到解決問題的目的．

4.2 探究拓展，能力提升

涉及圓錐曲線的問題，可以在一定條件下加以合理類比，進而挖掘、探究，得到與之相關的其他問題，拓展思維，從而全面提升思維能力、解題能力，提升數學品質，提高數學能力，培養核心素養．

參考文獻：

［1］蔡振樹.圓錐曲線離心率范圍問題的常見題型評析[J].數理化解題研究，2018（10）：4-5.

[2] 王淼生，黃昌毅.焦點三角形性質歸類[J].數學通訊，2016（16）：41-45.