一道雙變元代數(shù)式最值的探究

摘要：本文結(jié)合一道雙變元代數(shù)式最值的剖析，挖掘條件，合理變形，有效融合，奇思妙想，切入多變，破解策略多樣，方法精彩紛呈，有效指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)．

關(guān)鍵詞：雙變元代數(shù)式換元；基本不等式；配湊；權(quán)方和不等式

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2022）28-0089-03

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：王健（1983.10-），男，安徽省全椒人，碩士，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

涉及雙變元（或多變元）代數(shù)式的最值或取值范圍問題是高考、自主招生以及各類數(shù)學(xué)競賽中的熱點(diǎn)之一．此類問題的破解方法與切入點(diǎn)多種多樣，往往能合理交匯數(shù)學(xué)知識，融合數(shù)學(xué)思想，拓展思維方法，提升數(shù)學(xué)能力，是培養(yǎng)考生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一大主陣地，備受各方關(guān)注．

1 問題呈現(xiàn)

問題（2020屆浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)高三上學(xué)期期中考試第10題）設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，且a+2b+1a+2b=132，則1a+2b的最大值與最小值之和為（）.

A．2B．92C．132D．9

2 問題剖析

此題以雙變元的代數(shù)式的值為條件，進(jìn)而求解其中涉及一次分式的關(guān)系式的最大值與最小值，參數(shù)不具有對稱性或輪換性，沒有特殊的規(guī)律．

結(jié)合題目條件與代數(shù)關(guān)系式的特征，可以通過換元思維（單變量換元或雙變量換元），利用解二次不等式來達(dá)到目的；可以通過配湊思維，利用基本不等式來達(dá)到目的；可以借助不等式的性質(zhì)以及不等式的求解，借助不等式性質(zhì)達(dá)到目的；還可以通過重要不等式，利用權(quán)方和不等式來達(dá)到目的等．

3 問題解決

解法1（換元法1）結(jié)合基本不等式，可得

（a+2b）（1a+2b）=5+2ba+2ab

≥5+22ba×2ab=9，

當(dāng)且僅當(dāng)2ba=2ab，即a=b時等號成立.

設(shè)1a+2b=t，根據(jù)a+2b+1a+2b=132可得

a+2b=132-t.

則有（132-t）t≥9.

解得2≤t≤92，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=32時，t取得最小值為2；

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=23時，t取得最大值為92.

所以1a+2b的最大值與最小值之和為92+2=132，故選C．

解法2（換元法2）設(shè)m=a+2b，n=1a+2b，結(jié)合題目條件可得m+n=132.

則有m=132-n.

由柯西不等式，可得

mn=（a+2b）（1a+2b）

≥（a×1a+2b×2b）2=9.

所以（132-n）n≥9.即

2n2-13n+18≤0.

所以以上不等式的解的端點(diǎn)就是n的一個最大值和一個最小值，也就是其對應(yīng)的方程的兩個根的和，結(jié)合韋達(dá)定理，其對應(yīng)的方程的根的和為132.

所以1a+2b的最大值與最小值之和為132，故選C．

解后反思根據(jù)題目條件中代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，通過巧妙換元處理，進(jìn)行整體化思維，利用條件加以代換，轉(zhuǎn)化為含有一個參數(shù)的函數(shù)、方程或不等式問題，從而更加有效地利用函數(shù)性質(zhì)、方程的解或不等式的應(yīng)用等來解決代數(shù)式的最值問題．

解法3（配湊法）結(jié)合基本不等式，可得

a+2b+1a+2b+54（1a+2b）=a+94a+2b+92b

≥2a×94a+22b×92b

=3+6=9，

當(dāng)且僅當(dāng)a=94a，2b=92b，即a=b=32時等號成立，

此時132+54（1a+2b）≥9，

解得1a+2b≥2.

又a+2b+1a+2b-59（1a+2b）=a+49a+2b+89b

≥2a×49a+22b×89b

=43+83=4，

當(dāng)且僅當(dāng)a=49a，2b=89b，即a=b=23時等號成立，此時132-59（1a+2b）≥4，解得1a+2b≤92.

所以1a+2b的最大值與最小值之和為92+2=132，故選C．

解后反思根據(jù)題目條件中代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行合理的配湊處理，使得對應(yīng)的代數(shù)關(guān)系式更加吻合重要不等式的特征，為進(jìn)一步確定代數(shù)式的最值提供條件．配湊法處理問題時，技巧性強(qiáng)，具有一定的“設(shè)計(jì)”性與目的性，對數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理以及數(shù)學(xué)思想方法的要求非常高．

解法4（不等式求解法）由于a，b為正實(shí)數(shù)，且a+2b+1a+2b=132，則有

213[a+2b+（1a+2b）]=1.

利用基本不等式，可得

1a+2b=213（1a+2b）[a+2b+（1a+2b）]

=213[1+2ba+2ab+4+（1a+2b）2]

≥213[5+22ba×2ab+（1a+2b）2]

=213[9+（1a+2b）2]，

當(dāng)且僅當(dāng)2ba=2ab，即a=b=32或23時等號成立，

則有213[9+（1a+2b）2]≤1a+2b，

解之得2≤1a+2b≤92.

故1a+2b的最大值與最小值之和為132，故選C．

解后反思根據(jù)題目條件中代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，對所求的代數(shù)關(guān)系式進(jìn)行整體化思維，綜合利用代數(shù)關(guān)系式的恒等變形與轉(zhuǎn)化，以及基本不等式的應(yīng)用、二次不等式的求解等，綜合不等式的性質(zhì)等來巧妙處理，實(shí)現(xiàn)問題的巧妙轉(zhuǎn)化與應(yīng)用．

解法5（權(quán)方和不等式法）由于a，b為正實(shí)數(shù)，且a+2b+1a+2b=132，由權(quán)方和不等式，得

132-（a+2b）=1a+42b

≥（1+2）2a+2b=9a+2b.

化簡，得2（a+2b）2-13（a+2b）+18≤0.

解得2≤a+2b≤92.

所以1a+2b=132-（a+2b）∈[2，92]，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=32時，1a+2b取得最小值為2；

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=23時，1a+2b取得最大值為92.

故1a+2b的最大值與最小值之和為132，故選C．

解后反思根據(jù)題目條件中代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合代數(shù)式的合理化歸與轉(zhuǎn)化，借助一些常見的重要不等式（柯西不等式、權(quán)方和不等式、排序不等式等）來分析與處理．

4 變式拓展

探究1保留原來題目的條件，將求解相關(guān)代數(shù)式的“最大值與最小值之和”問題變?yōu)榍蠼狻白畲笾怠被颉白钚≈怠眴栴}．

變式1設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，且a+2b+1a+2b=132，則1a+2b的最大值為.

變式2設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，且a+2b+1a+2b=132，則1a+2b的最小值為.

解后反思根據(jù)以上變式問題的創(chuàng)設(shè)，只求出相應(yīng)代數(shù)關(guān)系式的最大值或最小值，目標(biāo)更加直接，難度也有所降低，比較吻合中等學(xué)生的能力范圍．

探究2保留原來題目的條件，直接變原來的求解“1a+2b的最大值與最小值之和”為“a+2b的最大值與最小值之和”問題．

變式3設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，且a+2b+1a+2b=132，則a+2b的最大值與最小值之和為.

解析結(jié)合基本不等式，可得

（a+2b）（1a+2b）=5+2ba+2ab

≥5+22ba×2ab=9，

當(dāng)且僅當(dāng)2ba=2ab，即a=b時等號成立.

設(shè)a+2b=t，根據(jù)a+2b+1a+2b=132可得1a+2b=132-t.

則有（132-t）t≥9，

解得2≤t≤92.

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=23時，t取得最小值為2；

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=32時，t取得最大值為92.

故a+2b的最大值與最小值之和為132，故選C．

解后反思這里只是以上變式問題的一種解析方法，還可以參照原問題的不同解析思維與方法，同樣可以用來解決該變式問題，這里不多加以敘述．

5 教學(xué)啟示

5.1 通技通法，技巧策略

破解雙變元代數(shù)式的最值問題，關(guān)鍵是利用題目條件，通過合理配湊與巧妙轉(zhuǎn)化，借助基本不等式以及柯西不等式、權(quán)方和不等式等一些重要不等式來確定最值問題．而其他的技巧方法，如換元、配湊、不等式求解等方法的應(yīng)用，是在整體思維下的一點(diǎn)靈活變通與創(chuàng)新．

5.2 思維視角，能力提升

具體解決涉及雙變元代數(shù)式的最值（最大值或最小值）或取值范圍問題，破解思維各異，但一些基本的破解思維和常見方法值得我們系統(tǒng)掌握，并在此基礎(chǔ)上舉一反三、融會貫通、深化思維、巧妙轉(zhuǎn)化、合理應(yīng)用，學(xué)會變式拓展，發(fā)散數(shù)學(xué)思維，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣與思維方式，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，提高數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)．

參考文獻(xiàn)：

［1］秦峰.一題多解助力培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2021（06）：44-46.

[2] 章建躍.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)如何落實(shí)在課堂[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2016（03）：66.