多視角研究一道聯考解析幾何等角題

摘要：圓錐曲線是歷年高考的必考內容.其中與角度有關的問題，近幾年頻頻出現，牽涉知識較多，包括直線的斜率、相似三角形、解三角形、角平分線、平面向量等內容，綜合性強這類問題可以結合等價轉化、數形結合等思想，采取一些特殊策略解答.

關鍵詞：角度問題；化歸轉化；數形結合

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）28-0040-03

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：賀鳳梅（1979-），女，湖北省隨州人，本科，中學一級教師，從事中學數學教學研究.

1 問題呈現

題目（烏魯木齊地區2021-2022學年度第一學期重點中學高三聯考第21題）已知點A為橢圓x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）的左頂點，點F（1，0）為右焦點，直線l：x=4與x軸的交點為N，且AF=FN，點M為橢圓上異于點A的任意一點，直線AM交l于點P.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）證明：∠MFN=2∠PFN.

2 總體分析

解析幾何中的角度問題有些可以轉化為斜率來處理，比如角度是與坐標軸的夾角；也可以采用余弦定理解答；還可以利用平面向量解答；如果涉及到2倍角關系，還可以采用角平分線的性質或到角公式來進行求解.

3 試題解答

3.1 第（1）問解析

解析由c+a=4-c且c=1，解得a=2.

所以b2=a2-c2=3.

從而橢圓C的標準方程為x24+y23=1.

3.2 第（2）問解析

視角1借助直線的傾斜角與斜率的關系及正切二倍角公式解答.

解法1由（1）知點A（-2，0）.

設點M（x0，y0），所以kAM=y0x0+2.

直線AM的方程為y=y0x0+2（x+2）.

不妨設點P在第一象限，當x=4時，y=6y0x0+2.

所以點P（4，6y0x0+2）.

結合圖1可知，

tan∠PFN=kPF

=6y0x0+24-1

=2y0x0+2.

利用二倍角公式，得

tan（2∠PFN）=2tan∠PFN1-tan2∠PFN

=2·2y0x0+21-（2y0x0+2）2

=4（x0+2）y0（x0+2）2-4y20. ①

又x204+y203=1，②

結合①②，解得tan（2∠PFN）=y0x0-1.

又tan∠MFN=kMF=y0x0-1，

所以tan∠MFN=tan（2∠PFN）.

由條件知∠MFN，∠PFN∈（0，π），

故∠MFN=2∠PFN.

評注此解法屬于常規解法，要證兩角相等，結合角的范圍，只需求兩角的正切值相等即可.而由圖象可知，兩角的正切值又與對應直線的斜率密切相關，于是問題等價轉化為：先求相關點，再求出相關直線的斜率，即得兩角的正切值，最后借助正切二倍角公式進行運算求解即可.這種解法充分體現了化歸與轉化和數形結合的數學思想.

視角2借助到角公式解答.

解法2由解法1，知

tan∠MFN=kMF=y0x0-1，

tan∠PFN=kPF=6y0x0+24-1=2y0x0+2.

結合圖1，并利用到角公式可得

tan∠MFP=kMF-kPF1+kMF·kPF

=y0x0-1-2y0x0+21+y0x0-1·2y0x0+2.

與②聯合，化簡，得tan∠MFP=2y0x0+2.

所以tan∠MFP=tan∠PFN.

結合角的取值范圍易得∠MFP=∠PFN.

從而∠MFN=2∠PFN.

評注現行教材對到角公式不作要求，感興趣的讀者可查閱到角公式，注意公式結構的特征和正切差角公式一致.很多題目用此公式還是切實可行的.建議學有余力的學生掌握，并能靈活運用.

視角3利用角平分線的性質解答.

解法3 ?由解法1可知P（4，6y0x0+2），kMF=y0x0-1.

所以直線MF：y=y0x0-1（x-1）.

即y0x-（x0-1）y-y0=0.

設點P到∠MFN的兩邊FM，FN距離分別為d1，d2，

則d2=PN=yP=6y0x0+2.

顯然，點P在FM的右側，

所以d1=4y0-（x0-1）6y0x0+2-y0（x0-1）2+y20.

與②聯合，x0<4，化簡，得

d1=6y0x0+2.

所以d1=d2，FP為∠MFN的角平分線.

所以∠MFP=∠PFN.

從而∠MFN=2∠PFN.

評注此解法結合圖象及待證結論，發現只要證明FP為∠MFN的角平分線即可.而根據角平分線的性質，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等. d2=PN=yP易求，求d1時，結合圖象的位置關系及x0的取值范圍，需要學生具備一定的觀察能力、邏輯推理能力和較高的運算求解能力.

視角4借助向量的數量積解答.

解法4由前面的求解可知F（1，0），M（x0，y0），P（4，6y0x0+2），N（4，0），且

x204+y203=1.

故FM=（x0-1，y0），FP=（3，6y0x0+2），FN=（3，0）.

所以cos∠PFN=FP·FNFP·FN

=39+（6y0x0+2）2，

cos∠MFP=FM·FPFM·FP

=3（x0-1）+6y20x0+2（x0-1）2+y20·9+（6y0x0+2）2，

欲證∠MFP=∠PFN，只需證cos∠MFP=

cos∠PFN，

只需證39+（6y0x0+2）2=3（x0-1）+6y20x0+2（x0-1）2+y20·9+（6y0x0+2）2，

即證（x0-1）2+y20=（x0-1）+2y20x0+2，③

結合②整理可得

左邊=（x0-1）2+3-34x20

=14x20-2x0+4

=14（x0-4）2=12（4-x0），

右邊=（x0-1）+2y20x0+2

=（x0-1）+6-32x20x0+2

=12（x0+2）（4-x0）x0+2

=4-x02.

所以等式③成立，即∠MFP=∠PFN.

從而∠MFN=2∠PFN.

評注欲證∠MFN=2∠PFN，結合圖象，即證∠MFP=∠PFN，設法找到相關點的坐標，得出對應向量坐標，由向量的數量積公式可得cos∠MFP，cos∠PFN，通過以上求解得到cos∠MFP=cos∠PFN，問題也就迎刃而解了.這也是等價轉化的思想.

在新課程背景下，課程強調對學生創新精神和實踐能力的培養. 在教學過程中，多視角、多策略處理問題可以調動學生的積極性，培養他們的思維能力，提高學習效率. 而圓錐曲線涉及的概念多、性質多，在解答圓錐曲線類試題時經常會有多種解答方法. 因此，在學習這部分知識的過程中，我們要重視一題多解，整合知識，將問題轉化為函數、向量、不等式等代數問題來求解.幫助學生完備知識體系，提高學習質量，深挖他們的潛能，培養良好的思維品質.

參考文獻：

［1］胡文文.例談圓錐曲線中角相等問題的解法[J].中學數學教學參考，2017（33）：36-37.

[2] 楊寧.挖掘試題的根源 培養學生創新思維能力——例談高中數學圓錐曲線一題多解[J].知識文庫，2018（09）：130.