研究離心率的求法

摘要：圓錐曲線的離心率是高考的重要考點，題型靈活多變，解法總體可以從代數和幾何兩個角度入手，但不同解法的運算量差距很大，一題多解研究離心率問題很重要，往往可以發現最優解，巧妙解.

關鍵詞：雙曲線；離心率；解法

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）28-0027-04

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：徐健（1970-），女，江蘇省海安人，本科，中學高級教師，從事中學數學教學研究.

2022年3月23日下午，烏魯木齊地區全體高三學生和部分高中數學老師參加了本地高度重視的高三第二次質量檢測考試，題目較以往有明顯的變化：新穎但偏易！但是第11題大家一致反映不好做，花了很多時間卻無果而終，甚至影響了后續答題，這種反應老師中也存在.因此，我第一時間展開了研究，先分享于此，以饗讀者.

1 題目呈現

題目（烏魯木齊地區2022年高三年級第二次質量檢測數學理科第11題） 已知雙曲線方程為x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），F1，F2分別是雙曲線的左，右焦點，點P位于第一象限的漸近線上，滿足PF1⊥PF2，PF1與另一條漸近線交于點Q，若PQ∶QF1=3∶2，則雙曲線的離心率為（）.

A.54B.43C.53D.2

2 總體把握

要求雙曲線的離心率，本質就是尋求其參數a，c的關系，進而要尋找建立關系的條件.顯然點P，Q在雙曲線的漸近線上就是突破口，那么這兩點的坐標必須被雙曲線的參數a，b，c表達，所以問題歸結為探究點P，Q的坐標.由幾何位置關系知，點P制約著點Q，因此突破點P的坐標是關鍵，我們嘗試著用a，b，c來表達.

3 解法探究

策略1估算速解.

解法1如圖1，記坐標原點為O，顯然OP是Rt△PF1F2斜邊上的中線，于是OP=c.

又因為點P在漸近線y=bax上，且c2=a2+b2，所以猜測P（a，b）.

由已知PQ∶QF1=3∶2，得PQ=35PF1.

設Q（m，n），則

（m-a，n-b）=35（-c-a，-b）.

所以m-a=35（-c-a），n-b=35（-b）.

解得m=25a-35c，n=25b.（*）

將（*）代入y=-bax，得

2b5=-ba（25a-35c）.

整理，得45=35·ca.

所以e=43.

故選B.

評注作為考試，又快又準答題是非常重要的.估算猜想可以實現速解.猜想當然需要解題經驗和正確的理論支持.本解法就是依據曲線與方程的關系和參數的數量關系c2=a2+b2合理推理后猜想而得.

策略2利用直線和圓的方程求交點.

解法2因為PF1⊥PF2，所以點P的軌跡方程為x2+y2=c2（除去點F1，F2）.

由x2+y2=c2，y=bax，得

x2+（bax）2=c2.

整理，得（a2+b2）x2=a2c2.

因為a2+b2=c2，

所以c2x2=a2c2.

解得x=a.

所以y=ba×a=b.

因此點P的坐標P（a，b）.

以下同解法1.

策略3利用向量垂直建立方程.

解法3因為PF1⊥PF2，

所以PF1⊥PF2.

于是PF1·PF2=0.

設P（s，t），

則（-c-s，-t）·（c-s，-t）=0.

整理，得s2+t2=c2.①

又P（s，t）在直線y=bax上，

所以t=bas.②

有①②解得P（a，b）.

以下同解法1.

策略4依托斜率關系式建立方程.

解法4因為PF1⊥PF2，

所以kPF1·kPF2=-1.

設P（u，v），

則v-0u+c·v-0u-c=-1.

整理，得u2+v2=c2.③

又P（u，v）在直線y=bax上，

所以u=bav.④

由③④解得P（a，b）.

以下同解法1.

策略5依托兩直線方程求點Q的坐標.

解法5由前文知點P（a，b），又F1（-c，0），

所以F1（-c，0）.

所以kPF1=ba+c.

故PF1所在直線方程為y=ba+c（x-c）.

聯立y=ba+c（x+c），y=-bax，得

點Q（-ac2a+c，bc2a+c）.

由已知得F1Q=25F1P.

所以（-ac2a+c+c，bc2a+c）=25（a+c，b）.

由bc2a+c=25b，

得4a=3c.

從而離心率e=ca=43.

故選B.

評注解法2，3，4，5均在交點上做文章，只是曲線（直線）方程產生的渠道不同而

已，殊途同歸.可以根據自己的喜好進行選擇，運算量差距不大.多角度思考，有助于提高學生的應試能力，拓廣思維.而考生思維受阻的原因是引入變量太多，將點P，Q的橫縱坐標均看作相互獨立的4個變量，未準確把握它們之間的數量關系.

策略6依托三角函數關系式建立方程.

解法6由已知得kOP=ba.

設∠POx=α，α是銳角，那么tanα=ba.

由同角三角函數的基本關系，得

sinα=bc，cosα=ac.

由直角三角形中的三角函數，得

Px=c×ac=a，Py=c×bc=b.

因此點P的坐標P（a，b）.

以下同解法1.

評注解析幾何中恰當引入三角函數往往可以減少變量，降低運算量.本題的相關點不

在雙曲線上，不易引入三角函數，需要綜合考慮，從直線傾斜角的角度引入角，然后才有三角運算，解題過程十分簡潔.

策略7幾何法，構造相似形直接得解.

解法7如圖2，設點P關于y軸的對稱點為P′，結合前文得P′（-a，b）.

同時，PP′∥OF1.

所以△QPP′∽△QOF1.

于是PQ∶QF1=PP′∶OF1.

因為PQ∶QF1=3∶2，

所以PP′∶OF1=2a∶c=3∶2.

解得e=ca=43.

評注解析幾何的本質是幾何，能夠將解析幾何問題的數量關系轉化為幾何位置關系，通常會大大降低運算量，使解題顯得簡潔明了.當然，這種轉化還是很不容易的，縱觀以上解法，本解法最為巧妙便捷.

4 追蹤溯源

題1（2017年烏魯木齊地區教師業務考試卷第11題）已知雙曲線C∶x2a2-y2b2=1的左、右焦點分別為F1，F2，在雙曲線上存在一點P，使得PF1與漸近線平行，∠F1PF2=π2，則雙曲線C的離心率為（）.

A.3B.5C.5D.2

參考答案C.

題2（2018年全國高考Ⅲ卷理科卷第11題） 設F1 ，F2是雙曲線C∶x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點，O是坐標原點，過點F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為點P.若PF1=6OP，則C的離心率為（）.

A.5B.2C.3D.2

參考答案C.

題3（2019年全國高考Ⅰ卷理科卷第16題）已知雙曲線C∶x2a2-y2b2=1的左、右焦點分別為F1 ，F2，過點F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點.若F1A=AB，F1B·F2B=0，則C的離心率為.

參考答案e=2.

評注以上三個題目均是直角背景下求雙曲線的離心率問題，解法多樣，但最簡潔還是幾何法，限于篇幅，請數學同仁自行探究，感悟其中的樂趣.

5 變式拓展

變式1已知雙曲線方程為x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，點P位于雙曲線第一象限的圖象上，滿足PF1⊥PF2，PF1與斜率為負值的漸近線交于點Q，若PQ∶QF1=

3∶2，則雙曲線的離心率為.

變式2已知雙曲線方程為x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，過點F2作直線l⊥x軸，l與雙曲線的漸近線在第一象限的交點為P，PF1與另一條漸近線交于點Q，若PQ∶QF1=3∶2，則雙曲線的離心率為.

變式3已知雙曲線方程為x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，過點F2作直線l⊥x軸，l與雙曲線在第一象限的交點為P，PF1與另一條漸近線交于點Q，若PQ∶QF1=3∶2，則雙曲線的離心率為.

評注直角背景下的離心率問題很活，以上僅從直角頂點的位置在漸近線上、在曲線上、在坐標軸上進行了改裝 ，問題就變得耳目一新.事實上還可變換曲線，將雙曲線換成橢圓，這類問題也很受高考命題專家的青睞，有興趣的同仁可以查閱歷年高考題.

6 題型綜述

直角背景下的離心率問題通常應從以下角度思考：圓錐曲線的第一定義式，正余弦定理，焦點三角形面積，三角換元，直線與直線的關系，直線與曲線的關系，向量的數量積，直線的斜率，互補角的誘導公式，互余角的誘導公式，相似形等，再輔以代數運算技巧，一般可以解決問題.其中最優解法是構造相似形的純幾何法，同時也是思維量最大的解法.多從幾何角度思考研究此類問題有助于提高解題速度和正確率.

參考文獻：

［1］李昌成.結論應用重要 結論證明更重要——以一個雙曲線的結論為例[J].中學生理科應試，2022（03）：13-15.

[2] 任志鴻.十年高考[M].北京：知識出版社，2019.

［3］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［4］ 杜海洋.一道壓軸小題的巧解淺議圓錐曲線離心率的常見求法［J］.數理化解題研究，2021（31）：16-17.

［5］ 吳喜平.求圓錐曲線離心率的三種思路［J］.語數外學習，2021（11）：40.