利用函數思想比較大小

摘要：文章主要從把字母看作變量或把代數式看作函數、利用函數的性質、根據結構構造函數比較大小

和數形結合四個方面介紹了函數思想在比較大小問題中的應用.

關鍵詞：函數思想；數形結合；同構

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）28-0036-04

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：李文東（1981-），男，湖北省咸寧人，碩士，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

函數思想是用運動和變化的觀點，分析和研究數學中的數量關系，建立函數關系或構造函數，運用函數的圖象和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決.利用函數思想解題指的是一種意識，一種解題時的思維習慣，具體說就是用變量和函數的觀點來思考問題.對于比較大小問題，我們利用函數思想去思考，往往可以起到簡化的作用.

1 把字母看作變量或把代數式看作函數

例1（糖水不等式）設a>b>0，m>0，證明：b+ma+m>ba.

證明設f（x）=b+xa+xx>0，則

f（x）=b-a+a+xa+x=1+b-aa+x.

由于a>b>0，故b-a<0.

因此函數f（x）在0，+上單調遞增.

故f（x）>f（0）.

即b+ma+m>ba.

例2設實數a，b，c 滿足a>b>1，c>1，則下列不等式不成立的是（）.

A. ba

B. 1a

C. 1c

D. 1ab

解析令f（x）=a+bxb+axx>1，則

f（x）=a-b2a+bab+axb+ax=ba+a2-b2ab+ax.

由a>b>1知，函數f（x）在1，+上單調遞減.

故ba

即a+bcb+ac∈ba，1.

可見選項A，B正確，選項C，D的右邊正確，對于C選項左邊1c1顯然成立，對于D選項左邊，若不等式成立，則應有1ab≤baa≤bba≤b3，可見其不一定成立.

本題答案為D.

點評例1雖然用不等式的性質也很容易證明，但是利用函數的思想求解則是從另外一個角度看問題，這在例2中其優點就很明顯，例2若是用不等式的知識求解就比較困難.

2 利用函數的性質比較大小

例3設a，b，c>0，且a2+b2=c2，n∈N*，且n≥3，試判斷an+bn與cn的大小.

解析由a2+b2=c2，得ac2+bc2=1.

從而0

令f（n）=acn+bcn，顯然f（n）單調遞減.

從而f（n）

即an+bn

3 根據結構構造函數比較大小

例4（多選題） 若a>b>0，則下列不等式中一定成立的有 （）.

A. a1+a>b1+bB.a-b>1b-1a

C.a+1b>b+1aD. aeb

解析設f（x）=x1+x=1-11+x，可見f（x）在0，+上單調遞增.

故f（a）>f（b）.

即a1+a>b1+b，可見A正確;

a-b>1b-1aa+1a>b+1b，令f（x）=x+1x ，由于f（x）在0，1上單調遞減，在1，+上單調遞增，可見B不一定正確；

a+1b>b+1aa-1a>b-1b，令f（x）=x-1x ，由于f（x）在0，+上單調遞增，可見C一定正確；

bea>aebeaa>ebb，令f（x）=exx，則f ′（x）=exx-1x2>0，解得x>1，則f（x）在0，1上單調遞減，在1，+上單調遞增，可見D不一定正確.

本題答案為AC.

點評本題構造函數的方法稱為同構法，同構法是目前高考比較熱門的比較大小的方法.數學中的同構式是指除了變量不同，而結構相同的兩個表達式.許多比較大小的問題，通過等價變形，可以轉化為同構式，然后構造函數，利用函數的單調性求解.

例5（多選題）下列不等關系正確的有（）.

A.3e13

C.eln8<252D.elnπ>π

分析觀察四個選項：3e13213>132；eln8<252eln222<42ln2222πlnππ>1elnππ>lnee.

解析設f（x）=lnxx，則f ′（x）=1-lnxx2，則

f（x）在0，e上單調遞增，在e，+上單調遞減.

故f（3）>f（e）.

即ln33>lnee.

即ln33>lnee=1e.

得3e

由f（π）>f（e），即lnππ>lnee.

即lnππ>lnee=1e.

得elnπ>π，故D正確；

由f（2）=f（4）

即13ln2<2ln13.

得213<13，故B錯誤；

由f（22）

即eln22<22.

得eln8<42，故C正確.

故本題答案為ACD.

例6（2021年全國乙卷理科數學第12題）設a=2ln1.01，b=ln1.02，c=1.04-1，則（）.

A.c

C.a

解析令x=0.01，則x∈（0，1）.

a=2ln（1+x），b=ln（1+2x），c=1+4x-1，

令b-c=ln（1+2x）-1+4x+1=f（x），

則f ′（x）=21+2x-421+4x

=2（1+4x-2x-1）（1+2x）1+4x

=21+4x-1+4x+4x2（1+2x）1+4x

<0.

故f（x）在0，1上單調遞減.

于是f（x）

令a-c=2ln（1+x）-1+4x+1=g（x），

則g′（x）=21+x-421+4x

=2（1+4x-x-1）（1+x）1+4x

=21+4x-1+2x+x2（1+x）1+4x

>2（1+4x-1+3x）（1+x）1+4x

>0.

故g（x）在0，1上單調遞增.

于是g（x）>g（0）=0.即a>c.

綜上，b

點評本題中a，b，c非常接近，又涉及到對數和根式的運算，直接很難比較，三個數中的1.01，1.02，1.04非常接近，因此引入x=0.01構造函數來比較大小，比較巧妙！

4 數形結合

例7（多選題）已知a>b>0，下列選項中正確的為（）.

A.若a-b=1，則a-b<1

B.若a2-b2=1，則a-b<1

C.若2a-2b=1，則a-b<1

D.若log2a-log2b=1，則a-b<1

解法1（特值法）取a=4，b=1可知A錯誤；取a=4，b=2可知D錯誤，故本題選BC.

解法2對于A選項，由a-b=1可知a>1.所以a-b=a+ba-b=a+b>1，故A錯誤；

對于B選項，由a2-b2=1可知a>1，故a-b=a2-b2a+b=1a+b<1，故B正確；

對于C選項，由2a-2b=12a-b=1+2-b<2，得a-b<1，故C正確；

或設2a=x，2b=y，則

a=log2x，b=log2y，且x-y=1，

故a-b=log2x-log2y=log2xy=log2y+1y<1.

對于D選項，由log2a-log2b=1可知a=2b，故a-b=b不一定小于1，故D錯誤；故本題選BC.

解法3令f（x）=x，則f（a）-f（b）=1，注意到f（1）-f（0）=1，而f ′（x）=12x，f ″（x）=-14x3<0，可見f（x）的增長速度越來越慢，故a-b>1；

令f（x）=x2，則f（a）-f（b）=1，注意到f（1）-f（0）=1，而f ′（x）=2x，f ″（x）=2>0，可見f（x）的增長速度越來越快，故a-b<1；

令f（x）=2x，則f（a）-f（b）=1，注意到f（1）-f（0）=1，而f ′（x）=2xln2，f ″（x）=2xln22>0，可見f（x）的增長速度越來越快，故a-b<1；

令f（x）=log2x，則f（a）-f（b）=1，注意到f（2）-f（1）=1，而f ′（x）=1xln2，f ″（x）=-1x2ln2<0，可見f（x）的增長速度越來越慢，故當a>2時必有a-b>1.

解法4將四個選項的a看作自變量x，b看作因變量y，其函數關系記為y=f（x），在同一坐標系作出函數y=f（x）和直線y=x-1的圖象，比如A選項：由a-b=1，得b=a-12.則f（x）=x-12.ABCD選項的圖象分別如圖1-4.

由圖象易知本題選BC.

點評本題四種解法，解法1僅僅是作為選擇題的解題策略，其對于BC的正確性并沒有真正證明；解法2的解法極大地依賴代數變形，不同的選項其變形方式不一樣；解法3和解法4則是從函數這個統一的角度去思考問題，解法3借助函數增長速度（二階導函數的符號），解法4從數形結合的角度思考.

例8已知實數a，b滿足關系式a2=b2-b+1，則下列結論正確的是（）.

A.若a<1，b<12，則a>b

B. 若a<1，b<12，則a

C.若a>1，b>12，則a>b

D. 若a>1，b>12，則a

解析由a2=b2-b+1，得a234-b-12234=1.

其表示中心在點0，12，實軸長為3的等軸雙曲線，如圖5可知，當a>1，b>12時，雙曲線位于第一象限的圖象在直線y=x的上方，即a

點評本題實數a，b滿足關系式a2=b2-b+1雖然不是函數關系式，但是借助函數的思想（變化的觀點）利用數形結合就很容易得到答案D，若是用不等式的知識則很難得出正確的答案.

參考文獻：

［1］閆偉. 例說指數與對數比較大小問題的求解策略[J].高中數理化，2020（Z2）：30-32.