挖掘真題背景把握命題方向

沈海全

摘要：深度研究高考真題是提高教師專業水平和準確把握教學方向的重要途徑，本文對真題進行深入挖掘并作一般性推廣，試圖把握此類問題的命題規律.

關鍵詞：真題；推廣；命題規律

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）28-0057-03

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：沈海泉，從事高中物理教學研究.

2021年全國甲卷第20題解析幾何中三切線問題的出現感覺耳目一新但又似曾相識，與2011年浙江理數第21題有類似的背景和解法，筆者對這兩個問題進行了深度挖掘并作了一般性推廣，為讀者在教學研究中提供一種思路.

1 真題呈現

真題1（2011年浙江理數第21題）如圖1所示，已知拋物線C1：x2=y，圓C2：x2+（y-4）2=1的圓心為點M.

（1）求點M到拋物線C1的準線的距離；

（2）已知點P是拋物線C1上一點（異于原點），過點P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A，B兩點，若過M，P兩點的直線l垂直于AB，求直線l的方程.

真題2（2021年全國甲卷第20題）拋物線C的頂點為坐標原點O，焦點在x軸上，直線l：x=1交C于P，Q兩點，且OP⊥OQ.已知點M（2，0），且⊙M與l相切.

（1）求C，⊙M的方程；

（2）設A1，A2，A3是C上的三個點，直線A1A2，A1A3均與⊙M相切.判斷直線A2A3與⊙M的位置關系，并說明理由.

2 試題解法

限于篇幅僅對真題2給出解法.

解析（1）因為x=1與拋物線有兩個不同的交點，故可設拋物線C的方程為y2=2px（p>0），令x=1，則y=±2p.

根據拋物線的對稱性，不妨設點P在x軸上方，點Q在x軸下方，故P（1，2p），Q（1，-2p）.

因為OP⊥OQ，故1+2p×（-2p）=0.

解得p=12.

所以拋物線C的方程為y2=x.

因為⊙M與l相切，所以⊙M：（x-2）2+y2=1.

（2）設A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）.

（1）當A1，A2，A3其中某一個為坐標原點時（不妨設A1為坐標原點），

設直線A1A2方程為kx-y=0，根據點M（2，0）到直線距離為1可得2k1+k2=1，解得k=±33，聯立直線A1A2與拋物線方程可得x=3，所以此時直線A2A3與⊙M相切.

（2）當A1，A2，A3都不是坐標原點時，直線A1A2的方程為x-（y1+y2）y+y1y2=0，

此時有|2+y1y2|1+（y1+y2）2=1.

即（y21-1）y22+2y1y2+3-y21=0.

又y22=x2，

即（y21-1）x2+2y1y2+3-y21=0.

同理可得（y21-1）x3+2y1y3+3-y21=0.

所以點A2，A3在直線（y21-1）x+2y1y+3-y21=0上.

所以直線A2A3的方程為

（y21-1）x+2y1y+3-y21=0.

令M（2，0）到直線A2A3的距離為d，則有

d=y21+1（y21-1）2+4y21=1.

所以此時直線A2A3與⊙M相切.

綜上，直線A2A3與⊙M相切.

3 一般性推廣

兩題均以拋物線上的任一動點向定圓作切線為背景，都可采用同構的思想來解決問題，但2021年全國甲卷第20題顯得更為特殊，第三條交點弦仍與圓相切，引起了筆者的思考，現將結論推廣到一般的拋物線和橢圓.

推廣1已知A1為拋物線C：y2=2px（p>0）上的動點，過點A1作⊙M：（x-4p）2+y2=4p2的兩條切線分別交拋物線C于A2，A3兩點，證明：直線A2A3與⊙M相切.

證明（1）當A1，A2，A3其中某一個為坐標原點時（不妨設A1為坐標原點），設直線A1A2方程為kx-y=0，根據點M（4p，0）到直線距離為2p可得4pk1+k2=2p.

解得k=±33.

聯立直線A1A2與拋物線方程可得x=6p.

所以此時直線A2A3與⊙M相切.

（2）當A1，A2，A3都不是坐標原點時，設A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），即x1≠x2≠x3，此時直線A1A2的方程為2px-（y1+y2）y+y1y2=0.

由直線A1A2與圓相切可得

|8p2+y1y2|4p2+（y1+y2）2=2p.

即（y21-4p2）y22+8p2y1y2+48p4-4p2y21=0.

又y22=2px2，

即（y21-4p2）x2+4py1y2+24p3-2py21=0.

同理可得（y21-4p2）x3+4py1y3+24p3-2py21=0.

所以點A2，A3在直線（y21-4p2）x+4py1y+24p3-2py21=0上.

所以直線A2A3的方程為

（y21-4p2）x3+4py1y3+24p3-2py21=0.

令M（4p，0）到直線A2A3的距離為d，則有

d=2py21+4p2（y21-4p2）2+16p2y21=2p.

此時直線A2A3與⊙M相切.

綜上，直線A2A3與⊙M相切.

波利亞說：“要充分利用一般化、特殊化與類比在變更問題方面中的功能.通過對問題的觀察、猜測、推廣，體會數學發現的過程，提高創造性思維能力.”因此筆者并不滿足于得到上述的推廣，而是繼續深入探索，利用類比的思想將結論進一步推廣到橢圓，通過研究，發現橢圓也有如下完全類似的結論.

推廣2已知A1為橢圓C：x2a2+y2b2=1上的動點，過點A1作⊙M：x2+y2=aba+b2的兩條切線分別交橢圓C于A2，A3兩點.證明：直線A2A3與⊙M相切.

證明 （1）當A1，A2，A3其中某一個為橢圓的左、右頂點（不妨設A1為橢圓左頂點），

設直線A1A2方程為y=k（x+a），根據點O（0，0）到直線距離為aba+b，可得ka1+k2=aba+b.

解得k=±ba2+2ab.

聯立直線A1A2與橢圓方程，得

y=ba2+2abx+a，x2a2+y2b2=1，

解得x2=aba+b.

所以此時直線A2A3與⊙M相切.

（2）當A1，A2，A3都不是橢圓左、右頂點時，設A1（acosα，bsinα），A2（acosβ，bsinβ），A3（acosγ，bsinγ），

此時直線A1A2方程為y-bsinαx-acosα=y-bsinβx-acosβ.

整理，得

bcosα+β2x+asinα+β2y-abcosα-β2=0.

根據點O（0，0）到直線距離為aba+b可得

d=abcosα-β2b2cos2α+β2+a2sin2α+β2=aba+b.

即a+b2cos2α-β2=b2cos2α+β2+a2sin2α+β2.

即a+b2·1+cosα-β2=b2·1+cosα+β2+a21+cosα+β2.

整理，得

a+bcosαacosβ+a+bsinαbsinβ+ab=0.

同理可得

a+bcosαacosγ+a+bsinαbsinγ+ab=0.

即A2（acosβ，bsinβ），A3（acosγ，bsinγ）在直線a+bcosαx+a+bsinαy+ab=0上.

所以直線A2A3方程為

a+bcosαx+a+bsinαy+ab=0.

令O（0，0）到直線A2A3的距離為d，則有

d=aba+b2cos2α+a+b2sin2α=aba+b.

此時直線A2A3與⊙M相切.

綜上，直線A2A3與⊙M相切.

推廣3已知A1為橢圓C：x2a2+y2b2=1上的動點，過點A1作⊙M：x-c4a2-b22a2+y2=b22a2的兩條切線分別交橢圓C于A2，A3兩點.證明：直線A2A3與⊙M相切.

證明同推廣2，限于篇幅不再贅述.

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出：“數學教育承載著立德樹人的根本任務，發展素質教育的功能，數學教育幫助學生掌握現代生活和進一步學習所必須的數學知識、技能、思想和方法，提升學生的數學素養，引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界，促進學生思維能力、實踐能力和創新意識的發展.”這對我們一線教師的專業水平提出了更高的要求，而深度研究高考真題，挖掘真題背景是提升教師專業素養、提高教學站位、準確把握教學方向的重要途徑.

參考文獻：

［1］波利亞.怎樣解題[M].上海：上海科技教育出版社，2007.

[2] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.