基于科學思維的電磁感應綜合問題探析

摘要：金屬棒垂直切割磁感線運動的模型是電磁感應綜合應用的一類典型問題，本文將2021年的四道高考題按照水平、豎直、斜面三種運動模型進行分類探析，進一步加深學生對動能定理和動量定理的理解.

關鍵詞：電磁感應；功能關系；動量定理

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）28-0137-03

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：趙繼辰（1984-），男，北京人，博士，從事物理教師教育培訓與研究.

新版普通高中物理課程標準在學科核心素養中提到：科學思維是基于經驗事實建構物理模型的抽象概括過程；是分析綜合、推理論證等方法在科學領域的具體運用.金屬棒垂直切割磁感線運動的模型是電磁感應綜合應用的一類典型問題，主要考查法拉第電磁感應定律、閉合電路歐姆定律、牛頓運動定律、功能關系、動量定理等眾多知識點，在歷年高考中出現頻率很高.本文將2021年的高考題按照水平、豎直、斜面三種運動模型進行分類探析.

1 水平運動模型

（2021年北京市高中物理等級性考試第7題）如圖1所示，在豎直向下的勻強磁場中，水平U型導體框左端連接一阻值為R的電阻，質量為m、電阻為r的導體棒ab置于導體框上.不計導體框的電阻、導體棒與框間的摩擦.ab以水平向右的初速度v0開始運動，最終停在導體框上.在此過程中（）.

A．導體棒做勻減速直線運動

B．導體棒中感應電流的方向為a→b

C．電阻R消耗的總電能為mv02R2R+r

D．導體棒克服安培力做的總功小于12mv02

接下來我們對問題進行拓展，采用動量定理求解導體棒運動的位移s.

由動量定理可知，導體棒所受到的安培力沖量IA等于導體棒的動量增量Δp.由于安培力的大小隨時間t變化，因此采用微元法進行求解.

IA=∑Δt→0FAΔt=∑Δt→0B2L2R+rvΔt=B2L2R+rs=mv0

解得s=R+rmv0B2L2.

（2021年海南省高中物理選擇性考試第18題）如圖2，間距為l的光滑平行金屬導軌，水平放置在方向豎直向下的勻強磁場中，磁場的磁感應強度大小為B，導軌左端接有阻值為R的定值電阻，一質量為m的金屬桿放在導軌上．金屬桿在水平外力作用下以速度v0向右做勻速直線運動，此時金屬桿內自由電子沿桿定向移動的速率為u0．設金屬桿內做定向移動的自由電子總量保持不變，金屬桿始終與導軌垂直且接觸良好，除了電阻R以外不計其它電阻．

（1）求金屬桿中的電流和水平外力的功率；

（2）某時刻撤去外力，經過一段時間，自由電子沿金屬桿定向移動的速率變為u02，求：

①這段時間內電阻R上產生的焦耳熱；

②這段時間內一直在金屬桿內的自由電子沿桿定向移動的距離．

2 豎直運動模型

（2021年湖北省高中物理選擇性考試第16題）如圖3（a）所示，兩根不計電阻、間距為L的足夠長平行光滑金屬導軌，豎直固定在勻強磁場中，磁場方向垂直于導軌平面向里，磁感應強度大小為B.導軌上端串聯非線性電子元件Z和阻值為R的電阻.元件Z的U-I圖像如圖3（b）所示，當流過元件Z的電流大于或等于I0時，電壓穩定為Um.質量為m、不計電阻的金屬棒可沿導軌運動，運動中金屬棒始終水平且與導軌保持良好接觸.忽略空氣阻力及回路中的電流對原磁場的影響，重力加速度大小為g.為了方便計算，取I0=mg4Bl，Um=mgR2Bl.以下計算結果只能選用m、g、B、L、R表示.

（1）閉合開關S，由靜止釋放金屬棒，求金屬棒下落的最大速度v1；

（2）斷開開關S，由靜止釋放金屬棒，求金屬棒下落的最大速度v2；

（3）先閉合開關S，由靜止釋放金屬棒，金屬棒達到最大速度后，再斷開開關S.忽略回路中電流突變的時間，求S斷開瞬間金屬棒的加速度大小a.

3 斜面運動模型

（2021年天津市高中物理等級性考試第11題）如圖4所示，兩根足夠長的平行光滑金屬導軌MN、PQ間距L=1m，其電阻不計，兩導軌及其構成的平面均與水平面成θ=30°角，N、Q兩端接有R=1Ω的電阻．一金屬棒ab垂直導軌放置，ab兩端與導軌始終有良好接觸，已知ab的質量m=0.2kg，電阻r=1Ω，整個裝置處在垂直于導軌平面向上的勻強磁場中，磁感應強度大小B=1T．ab在平行于導軌向上的拉力作用下，以初速度v1=0.5m/s沿導軌向上開始運動，可達到最大速度v=2m/s．運動過程中拉力的功率恒定不變，重力加速度g=10m/s2．

（1）求拉力的功率P；

（2）ab開始運動后，經t=0.09s速度達到

v2=1.5m/s，此過程中ab克服安培力做功W=0.06J，求該過程中ab沿導軌的位移大小x．

斜面運動模型相比于水平、豎直模型的一個顯著特點是需要將重力按運動效果分解為沿斜面向下的分力和垂直于斜面向下的分力.本題的另一個特點是拉力的功率恒定不變，即拉力隨速度的增大而減小.

拓展，設置情景：當金屬棒達到最大速度后，撤去拉力，分析運動情況.

撤去拉力后，金屬棒受到重力下滑分力和安培力的共同作用，做加速度減小的減速直線運動到最高點.

由功能關系可知，金屬棒減少的動能等于克服重力下滑分力所做的功與電阻消耗的電能Q3之和.設金屬棒沿斜面向上的位移為s，由動能定理可得Q3=12mv2-mgssinθ.

由動量關系可知，金屬棒減少的動量等于重力下滑分力的沖量與安培力的沖量之和.設金屬棒沿斜面向上運動到最高點的時間為t3，由動量定理可得

mv=Gxt3+∑t3Δt→0FAΔt=mgt3sinθ+∑t3Δt→0B2L2R+rvΔt=mgt3sinθ+B2L2R+rs

而后安培力的方向變為沿斜面向上，金屬棒沿斜面下滑，做加速度減小的加速直線運動.當金屬棒再次回到撤去拉力的位置時速度為v4，金屬棒增加的動能等于重力下滑分力所做的功與電阻消耗的電能Q4之差.由動能定理可得Q4=mgssinθ-12mv24.

由動量關系可知，金屬棒增加的動量等于重力下滑分力的沖量與安培力的沖量之差.設金屬棒從最高點運動到撤去拉力位置的時間為t4，由動量定理可得

mv4=Gxt4-∑t4Δt→0FAΔt=mgt4sinθ-∑t4Δt→0B2L2R+rvΔt=mgt4sinθ-B2L2R+rs

由此可以得到，這兩個過程重力做功的大小相等，金屬棒所受安培力沖量的大小相等，且t3v4，Q3>Q4.

此情景類似于考慮空氣阻力的豎直上拋運動.

金屬棒切割磁感線運動這類典型問題，安培力大小隨速度變化，因此先進行受力分析，采用牛頓第二定律列出加速度的表達式，而后對運動情況進行定性分析，利用平衡狀態求解最大速度.而后利用動能定理求解做功和生熱的問題，利用動量定理求解距離的問題.

此外，磁感應強度隨時間均勻變化而產生感應電動勢問題（例如2021年山東省高中物理等級考試第12題、2021年遼寧省高中物理選擇性考試第9題），以及線框切割磁感線運動問題（例如2021年全國甲卷理綜物理高考第21題、2021年湖南省高中物理選擇性考試第10題、2021年全國乙卷理綜物理高考第25題）也是高考經常出現的題型，在此不再一一分析.

參考文獻：

［1］人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書·物理（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.

［2］ 陸永華.指向物理核心素養的“主線”深度教學實踐研究——以電磁感應單桿模型微專題復習為例[J].物理教師，2020，41（9）：21-23.